А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Истинность составных высказываний, образованных в результате выполнения каких-либо логических операций над простыми высказываниями, зависит только от истинности исходных высказываний. Чаще всего для установления значений сложных высказываний используют таблицы истинности.


Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию, и значениями функции.

Рассмотрим построение таблиц истинности на примере операций, рассмотренных в предыдущем разделе. Начнем с унарной операции отрицания Ā. Поскольку операция выполняется над одним операндом (A), принимающим всего два значения ( 1-истина; 0-ложь), таблица будет иметь три строки и два столбца. В заголовке таблицы укажем высказывание A и результат отрицания Ā, как показано на рисунке.

Далее в первом столбце разместим все возможные значения высказывания A, а во втором — значения логической функции Ā, как показано на рисунке.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Приведем таблицу истинности логического умножения (конъюнкции).






AB A Λ B
000
010
100
111

Заметим, что составное высказывание A Λ B истинно только в том случае, когда истинны ода высказывания и A, и B.

Таблица истинности логического сложения приведена на следующем рисунке.






AB A V B
000
011
101
111

Составное высказывание A V B ложно лишь в случае, когда оба операнда ложны.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Таблица истинности импликации, выглядит следующим образом.






AB A -› B
001
011
100
111

Составное высказывание A -› B ложно лишь в случае, когда ложь имплицируется истиной. Таблица истинности эквивалентности представлена на следующем рисунке.






AB A ~ B
001
010
100
111

Составное высказывание A ~ B истинно в том случае, когда значения операндов совпадают.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Полезно иметь под рукой сводную таблицу истинности.



Сводная таблица истинности







A0011
B0101
Коньюнкция A Λ B0001
Дизъюнкция A V B0111
Импликация A -› B1101
Эквиваленция A ~ B1001

Заметим, что таблицы истинности находят широкое применение для

  • вычисления истинности сложных высказываний;
  • установления эквивалентности высказываний;



    Два сложных высказывания называют эквивалентными , если совпадают их таблицы истинности.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

  • oпределения тавтологий .


  • Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.

    Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.

     

     
     
     
     
     

    Ошибка 404. Страница не найдена!

    Уважаемые родители будущих первоклассников!

    График приема родителей c 01.04.2021г:
    понедельник 14.00-17.00
    среда 14.00-17.00
    пятница 14.00-17.00

    С 01.09.2021 года в гимназии будут открыты  4 первых класса.

    Количество мест в первых классах  — 112.

    Прием документов начинается  с 01.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн 04.2021 г.

    ИЗМЕНЕНИЯ ПОДАЧИ ЗАЯВЛЕНИЙ НА СДАЧУ ОГЭ В 2021

    Дубненские выпускники 9-х классов смогут подать заявление на сдачу основного государственного экзамена (далее-ОГЭ) дистанционно. Подробнее>>

    Уважаемые учащиеся и родители!

    Уважаемые родители!

    В соответствии с Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 02.09.2020 № 458 «Об утверждении Порядка приема на обучение по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования» информируем Вас об изменении сроков приема заявлений в первый класс на 2021-2022 учебный год.

  • Начало приема по закрепленной территории с 1 апреля по 30 июня.
  • Начало приема по незакрепленной территории с 6 июля по 5 сентября.
  • Уважаемые родители!

    Информируем вас о том, что записаться на «Родительский контроль» — проект по оценке качества питания в школах — в Подмосковье теперь можно в режиме онлайн.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Сделать это можно на Школьном портале региона. Регистрация проходит быстро — вся процедура займет не более трех минут.

    — Нужно перейти во вкладку «Родительская»;
    — Перейти в раздел «Школьное питание»;
    — Выбрать желаемую дату и время;
    — Нажать кнопку «Записаться».
    Школа автоматически получит заявку и в назначенное время родителя будет ожидать классный руководитель или ответственный за питание.

    Проект «Билет в будущее»

    Билет в будущее» — это проект ранней профессиональной ориентации школьников 6−11 классов.

    Кампания проекта проходит с июля по ноябрь 2020 года. Родителю и ребенку нужно пройти регистрацию на Платформе проекта по адресу https://bilet.worldskills.ru/, у каждого будет свой личный кабинет, в котором будут отражаться результаты участия.

    Инструкция для регистрации .pdf

    Подготовка к егэ

    Приказ №164 от 29.05.2020г. «Об организации подготовки к ЕГЭ в режиме онлайн в 2020г».pdf

    График консультаций ЕГЭ в режиме онлайн.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн pdf

    Приказ №166 от 29.05.2020 «О внесении изменений в приказ №142 от 29.04.2020 «Об организации сотрудников гимназии №11 с 01.06.2020 по 14.06.2020г.» .pdf

    внимание

    Приказ №151а от 12.05.2020 «О внесении изменений в приказ №142 от 29.04.2020 «Об организации сотрудников гимназии №11 с 06.04.2020 по 31.05.2020» .pdf

    Приказ №142 от 29.04.2020 «О внесении изменений в приказ №136 от 06.04.2020 «Об организации сотрудников гимназии №11 с 06.04.2020 по 30.04.2020» .pdf

    Северное инспекторское отделение Центра ГИМС ГУ МЧС России по Московской области информирует

    Сейчас на территории Подмосковья действует режим самоизоляции и покидать дома без острой необходимости запрещается, а прогулки у воды без присмотра взрослых могут стоить жизни. К сожалению, не все родители объясняют своим детям, что же означает этот режим, и к каким последствиям могут привести прогулки.

    Самоизоляция – это комплекс ограничительных мер для населения, которые вводит правительство на определенный срок для борьбы с распространением опасного заболевания.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Граждан просят соблюдать режим: не выходить на улицу без острой необходимости, ограничить контакты с другими людьми и соблюдать все рекомендации по профилактике вирусных заболеваний, предложенные медицинским сообществом.

    Уважаемые родители и дети просим Вас не пользоваться береговой зоной водоемов и не нарушать режим самоизоляции.

    Берегите себя и своих близких!!!

    Приказ №136 от 06.04.2020 «Об организации работы сотрудников гимназии №11 с 06.04.2020г. по 30.04.2020г » .pdf

    Приказ №134 от 03.04.2020 «О переходе на обучение с использованием электронного обучения и дистанционных образовательных программ» .pdf

    Регламент организации дистанционного обучения в Гимназии №11

    Дорогие участники образовательного процесса, учащиеся, учителя, родители! Познакомьтесь с регламентом организации дистанционного обучения .pdf

    Изменения в Постановлении Губернатора Московской области

    Уважаемые родители и ученики! Согласно постановлению Губернатора Московской области №171-ПГ от 02.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн 04.2020 образовательный процесс в Гимназии №11 с 06.04.2020 по 30.04.2020 будет осуществляться с использованием электронного обучения и дистанционных образовательных технологий .pdf

    О режиме повышенной готовности в гимназии №11

    20 марта на сайте гимназии опубликован приказ №122 » О введении режима повышенной готовности в гимназии №11″ .pdf

    меры профилактики гриппа и ОРВИ

    Уважаемые родители!
    Ежегодно в конце зимы и начале весны увеличивается число заболевших гриппом и ОРВИ. Давайте отнесемся к здоровью наших детей в этот период с особым вниманием. Узнать более подробно о мерах профилактики данных заболеваний:
    https://www.rospotrebnadzor.ru/about/info/news_time/news_details.php?ELEMENT_ID=13566

    УВАЖАЕМЫЕ РОДИТЕЛИ! ПРИМИТЕ УЧАСТИЕ В ОПРОСЕ

    Родителям будущих первоклассников!

    График приема родителей: (приказ.pdf)
    1 февраля 2020г. — с 09.00 до 17.00 (обед 13.00-14.00)
    2 февраля 2020г. — с 09.00 до 17.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн 00 (обед 13.00-14.00)
    с 03.02.2020 — 30.06.2020г. с  с 09.00 до 18.00 (обед 13.00-14.00) с понедельника по пятницу

    С 1 февраля 2020 года начинается прием заявлений от родителей (законных представителей) на зачисление детей в 1 класс 2020 – 2021  учебного года в электронном виде для граждан, проживающих на закрепленной территории, посредством Портала государственных и муниципальных услуг Московской области https://uslugi.mosreg.ru/.

    Подробнее по ссылке>>

    Учитель шахмат

    Департамент государственной политики в сфере общего образования Министерства Просвещения РФ информирует о проведении конкурса «Учитель шахмат», организатором которого является Общероссийская общественная организация «Федерация шахмат России». Заявки на участие в конкурсе принимаются до 15 апреля 2019 года.

    Показать/скрыть

    Форму заявки можно скачать по ссылке. Конкурсные материалы принимаются с 16 апреля до 30 июня 2019 года. Форму для прикрепления конкурсных материалов можно скачать здесь.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Контактное лицо: руководитель проекта «Шахматный всеобуч России» Костьев Александр Николаевич, тел. 8(968)732-00-74, адрес электронной почты: [email protected]u.

    Урок мужества

    1 марта 2019 г. во всех классах школы пройдет Урок мужества. В этот день будет проходить торжественная церемония награждения детей-лауреатов Всероссийской общественной инициативы «Горячее сердце».

    Показать/скрыть

    Целью такого урока является формирование у школьников готовности к общественной полезной деятельности, преодолению сложных ситуаций в семье или ограничений здоровья.

    Лауреатами «Горячего сердца» являются дети, которые спасли людей при пожарах, помогли оказавшимся в беде или в сложной ситуации, участвовали в борьбе с распространением наркотиков, а также добились успеха в различных видах деятельности, несмотря на ограничения здоровья.
    Методические рекомендации

    Ребята и их родители!

    Приглашаем вас принять участие в увлекательных конкурсах! Зарегистрируйтесь  на сайте https://www.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн prav-pit.ru/, если есть вопросы, обращайтесь за помощью к координатору конкурса в гимназии №11социальному педагогу  Волковой Елене Ивановне.

    01.11.2018 – 15.06.2019

    Конкурс семейной фотографии. Участники конкурса должны подготовить семейный фотоплакат, демонстрирующий важность здорового образа жизни.
    15.10.2018 – 30.08.2019

    Фотоконкурс “Воспитываем здоровых и счастливых”. Участвуйте конкурсе и размещайте свои фотографии, рассказывающие о том, как в вашей семье воспитывают здоровых и счастливых!

    Авторы фотографий, за которых проголосует больше всего посетителей сайта, получат главный приз — 3 дневную экскурсионную поездку в Москву.

    ЕСИА Условия успешной авторизации на Школьном портале через ЕСИА (только для пользователей старше 14 лет)

    1.Наличие Подтверждённой учётной записиЕСИА (подробно о том, как и где подтвердить учётную запись ЕСИА, рассказано здесь)

    2.Наличие учётной записи в системе «Школьный портал»

    3.Совпадение ФИО и СНИЛС в учётных записях ЕСИА и системы «Школьный портал»

    ВНИМАНИЕ! В случае отсутствия СНИЛС в учетной записи необходимо выполнить связывание своих учетных записей вручную.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн  Как это сделать: https://helpschool.mosreg.ru/hc/ru/articles/360001467547

    Уважаемые родители!
    Информацию о приеме в кружки и секции дополнительного образования на 2018/2019 уч.г. можно посмотреть в разделе Родителям

    Уважаемые учащиеся!

    Предлагаем вам ознакомиться с материалами и принять участие в VIII Всероссийском конкурсе социальной рекламы «Новый взгляд». Подробнее…

    Уважаемые учащиеся и родители!

    Министерство здравоохранения Московской области в рамках подготовки к Всемирному Дню сердца предлагает ознакомиться с видео-роликом о первых признаках инсульта «УДАР», а также на сайте службы медицинской профилактики Московской области пройти анкетирование и ознакомиться с полезной информацией о факторах риска развития инсульта.

    «Основы логики» — 11 класс

    Логические выражения. Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

    Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2 • 2 = 5 или 2 • 2 = 4) и (2 • 2= 5 или 2 • 2=4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

    А = «2 • 2 = 5» — ложно (0), В = «2 • 2 = 4» — истинно (1).

    Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:

    «(А или В) и (А или В)».

    Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических опе­раций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

    F = (А v В) & (А v В).

    Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

    F = (А v В)&(А v В) = (О v 1)&(1 v 0) = 1 & 1 = 1.

    Таблицы истинности. Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).

    При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.

    Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в ло­гическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:
    количество строк = 2n.

    В нашем случае логическая функция F — (АvВ)&(АvВ) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

    В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

    В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

    В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности (табл. 3.4). Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

    Таблица 3.4. Таблица истинности логической функции






    ABАvВ!(AvВ)(АvВ)&(АvВ)
    0001110
    0111011
    1000111
    1110000

    Равносильные логические выражения.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

    Докажем, что логические выражения !(А & В) и !(АvВ) равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения А & В (табл. 3.5).

    Таблица 3.5. Таблица истинности логического выражения А & В






    AB!A!B!(А&В)
    00111
    01100
    10010
    11000

    Теперь построим таблицу истинности логического выражения АvВ (табл.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн 3.6).

    Таблица 3.6. Таблица истинности логического выражения АvВ






    ABАVВ!(АvВ)
    0001
    0110
    1010
    1110

    Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

    !(А&В) = !(АvВ).

    Логическое следование (импликация). Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

    Логическая операция импликации «если А, то В», обозначается А -> В и выражается с помощью логической функции F14, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн 3.8).

    Таблица 3.8. Таблица истинности логической функции «импликация»






    ABF14 = A->В
    001
    011
    100
    111

    Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки(первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

    Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

    Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следо­вать что угодно.

    В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и ло­гическому отрицанию.

    Докажем методом сравнения таблиц истинности (табл. 3.8 и 3.9), что операция импликации А -> В равносильна логическому выражению А vВ.

    Таблица 3.9. Таблица истинности логического выражения АvВ






    AB!A!Аv В
    0011
    0111
    1000
    1101

    Таблицы истинности совпадают, что и требовалось доказать.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Логическое равенство (эквивалентность). Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

    Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции .F10, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.10).

    Таблица 3.10. Таблица истинности логической функции эквивалентности






    ABF10
    001
    010
    100
    111

    Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    2. Практическое применение — Таблицы истинности

     №1.

    Докажите, что А <=> В равносильно (A\/ ¬B) /\ (¬A\/ B)

     Для доказательства равносильности двух высказываний достаточно построить таблицу истинности для высказывания (A\/ ) /\ (\/ B) и сравнить ее с таблицей истинности эквивалентности:

    А

    В

    ¬B

    A\/¬B

    ¬A

    ¬AVB

    (A\/¬B) /\ (¬A \/B)

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

     Последние столбцы этих функций совпадают, значит, они равносильны.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн ЧТД.

     №2.

    Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

    A /\ ¬ (¬B \/ C)

       1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C

       2) A /\ ¬B /\ ¬C

       3) A /\ B /\ ¬C

       4) A /\ ¬B /\ C

    Ответ:  3

     №3.

    Постройте таблицу истинности для логического выражения:

    1)A=>B<=> ¬А \/  B

    Ответ:

    А

    В

    A=>B

    ¬А

    A → B<=> ¬А

    A → B<=> ¬А \/  B

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    2)F=A<=>B<=>(¬А \/  B) /\ (¬B\/  А)

    Ответ:

     №4.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Определите истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

    Решение:

    Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

    А = «За окном светит солнце»

    В = «За окном дождь»

     Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

    F(A, B) = A /\ ¬B

     построим таблицу истинности для данной логической функции.

    A

    B

    ¬B

    A /\ ¬B

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при набореF(1,0)=1.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

     №5.

    Определите истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

    Решение:

    Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

    А = «Гости смеялись»

    В = «Гости шутили»

    С = «Гости расходились по домам»

    Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

    F(A, B, С) = A/\ B /\¬C

    Построим таблицу истинности для данной логической функции.

    A

    B

    C

    ¬C

    A /\ B/\¬C

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при набореF(1,1,0)=1.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

     №6.

    На языке алгебры логики составьте истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи:

    Школьника, Миша, остававшийся в классе на перемене, был вызван к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчик ответили следующее: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

    Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.

    Решение:

    Пусть

    А = «Окно разбил Миша»

    В = «Окно разбил Коля»

    Если Миша сказал чистую правду, то¬А /\ ¬В = 1.

    Если в одной части заявления Миша соврал, а другое его высказывание истинно, то (¬А /\ В) \/ (А /\¬В) = 1

    Если Миша оба факта исказил, то А /\ В = 1.

    Ответ:

    Истинное тождество, соответствующее условию задачи будет выглядеть так:¬А /\ ¬В  \/¬А /\ В \/А /\ ¬ В \/ А /\ В = 1.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Как эти булевы выражения (таблицы истинности) эквивалентны?

    Я пытаюсь лучше понять булеву эквивалентность, но этот пример меня немного зацепил.

    Я имею в виду этот веб-сайт: http:/ / chortle.ccsu.edu/java5 / Notes/chap40B/ch50B_9. html

    Это имеет смысл, но в то же время не имеет смысла… он говорит, что они эквивалентны, но истинные/ложные значения не складываются/выравниваются таким образом, чтобы они были эквивалентны, как показано в таблице. Может ли кто-нибудь объяснить мне это?

    !

    (A && B) <— первое выражение

    (C | / D) <— второе выражение

    Последние столбцы относятся к эквивалентности двух выражений, которые да, они эквивалентны в соответствии с таблицей. Однако я просто не понимаю, как эти два выражения эквивалентны. Если a = Ф, в = F —> Т, не C = ф д = ф —> т а?

    A   B     C   D
    --------------------
    F   F     T   T   T
    F   T     T   F   T
    T   F     F   T   T
    T   T     F   F   F
    

    boolean

    expression

    boolean-expression

    truthtable

    Поделиться

    Источник


    user3462362

    06 апреля 2014 в 05:52

    2 ответа


    • Эквивалентны ли эти выражения jQuery?

      Мне интересно, эквивалентны ли эти два выражения, потому что если бы они были эквивалентны, то это было бы намного проще.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн no. переменных) в качестве…


    1

    Вы сбиваете себя с толку, пытаясь свести его от фактического выражения к однобуквенным переменным. При ссылке на фактическую ссылку может показаться, что используемые вами переменные могут быть сопоставлены с исходными выражениями следующим образом:

    A = speed > 2000
    B = memory > 512
    C = speed <= 2000
    D = memory <= 512
    

    Если вы посмотрите на него, то C равно !A , а D равно !B . Таким образом, выражение (C || D) фактически является !((!A) || (!B)) . По закону де Моргана это то же самое, что !(A && B) .

    Поделиться


    shree.pat18

    06 апреля 2014 в 06:25


    0

    Эта таблица объясняет это !(A && B) эквивалентно !А|/! Б.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Столбцы C и D, по-видимому, определяются как C =! A и D =! B. Последний столбец-C | / D

    Так что в = Ф, в = F конечно подразумевает !(А && Б). В этом случае C = D = T, а также C | / D = T.

    Поделиться


    James King

    06 апреля 2014 в 06:25


    Похожие вопросы:

    Всегда ли эти две петли эквивалентны

    В языке программирования Java эквивалентны ли следующие два цикла для любого выражения exp и And loop body body ? Единственным побочным условием должно быть то, что недавно введенная переменная b не…

    Цифровая логика-таблицы истинности

    Я пытаюсь решить эти проблемы с помощью таблиц истинности, используя приведенные ниже формулы. У меня возникли проблемы с NOT по NAND Я думаю, что получил первые 2 проблемы правильно, используя: AND…

    Как я могу построить генератор таблиц истинности?

    Я хочу написать генератор таблиц истинности в качестве личного проекта.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Здесь и здесь есть несколько веб-сайтов . (Example screenshot of an existing Truth Table Generator ) У меня есть следующие…

    Эквивалентны ли эти выражения jQuery?

    Мне интересно, эквивалентны ли эти два выражения, потому что если бы они были эквивалентны, то это было бы намного проще. $(‘div’, this).filter(‘:not(.trigger)’)… $(‘div:not([class*=trigger])’,…

    Таблица истинности для выражения( в виде строки )

    Я хочу вычислить таблицу истинности для выражения (допустимого логического выражения), введенного пользователем в виде строки. Может ли кто-нибудь опубликовать существующее решение этой проблемы или…

    Динамическое создание JTable (булевых таблиц истинности)

    У меня есть код, который генерирует таблицу истинности для данного логического выражения. Например, рассмотрим введенное пользователем выражение (A+B)+(C+D) . У меня есть строковый массив headers[]…

    Генерация Таблицы Истинности

    У кого-нибудь есть мысли о создании строки таблицы истинности без создания всей таблицы.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн з)…

    Эквивалентны ли эти два выражения

    int x, N; и N всегда положительно. Эквивалентны ли следующие две строки? if (x>=0 && x<N) if ( (unsigned)x < (unsigned)N )

    Урок 5. Логические законы и противоречия

    В прошлом уроке были рассмотрены условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в силлогистике. Мы показали, что разные типы высказываний при одних условиях истинны, а при других – ложны. При этом нам ни разу не встречались высказывания, которые были бы всегда истинны или всегда ложны. Между тем, такие высказывания бывают. Первые называются логическими законами, а вторые – логическими противоречиями. О них мы и поговорим в этом уроке.

    Во введении к курсу было сказано, что логика – это нормативная наука о формах и приёмах рациональной познавательной деятельности. Как и любая другая наука, логика также формулирует свои законы. Однако в отличие от других наук, законы эти являются нормативными, то есть они не описывают процесс человеческого мышления, а предписывают, как человек должен мыслить, если он хочет, чтобы его рассуждение было корректным.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Таким образом, логические законы представляют собой некие общие принципы, которыми люди должны руководствоваться в процессе рассуждения.

    Если попытаться дать более строгое определение, то:

    Логический закон – это определённая логическая форма, благодаря которой высказывание в целом принимает значение «истина», независимо от конкретного содержания его частей.

    По этой причине логические законы также иногда называют логическими тавтологиями: о чём бы мы не говорили, высказывания, имеющие форму логических законов, всегда оказываются истинными. К тому же они кажутся «бесплодными», потому что мы не можем извлечь из них никакой реальной информации о мире.

    Логические противоречия – полная противоположность логическим законам, то есть это такая логическая форма, при которой высказывание в целом всегда принимает значение «ложь», независимо от содержания его частей.

    Содержание:

    Таблицы истинности

    Как же определить, что определённое высказывание всегда принимает значение «истина» или «ложь»? Логики придумали для этого очень удобный метод, который получил название «таблиц истинности».А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Как понятно из названия, они представляют собой таблицы, в которых в верхнюю строку записывается логическая форма высказываний, а в столбцы под каждым компонентом записываются их истинностные значения. Давайте построим таблицу истинности для высказывания «Идёт дождь».




    Идёт дождь

    Истина

    Ложь

    Здесь всё довольно ясно: «Идёт дождь» – это простое высказывание, которое может принимать значение либо «истина», либо «ложь». Обычно для удобства логики сокращают значения до «и» и «л», а само высказывание записывают маленькой буквой латинского алфавита: p, q, r, s и т.д. Поэтому в классическом виде таблица истинности для одного простого высказывания будет выглядеть так:

    Давайте теперь представим, что у нас есть два высказывания: «Идёт дождь» и «Светит солнце». Пока они никаким образом не связаны между собой.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Однако поскольку их уже два, то у нас возможны уже не две, а четыре комбинации: оба высказывания истинны, оба высказывания ложны, истинно либо первое, либо второе высказывание. Таблица истинности для них будет включать уже четыре строки для значений.






    p

    q

    и

    и

    и

    л

    л

    и

    л

    л

    Если у нас есть три высказывания («Идёт дождь», «Светит солнце», «Трава зеленеет»), то таблица будет включать уже восемь строк для значений, так как в таком случае возможны восемь комбинаций.










    p

    q

    r

    и

    и

    и

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    и

    л

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    л

    Чем больше разных высказываний вы хотите рассмотреть, тем больше комбинаций из значений возможно.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Число этих комбинаций для n высказываний вычисляется по формуле 2n. Так для четырёх высказываний, число комбинаций – шестнадцать, для пяти – тридцать два и т.д.

    Таблицы истинности строятся и в силлогистике, однако выглядят они немного иначе. В левый столбец обычно помещается диаграмма, изображающая то или иное отношение между терминами S и P, а справа помещаются различные типы высказываний и их истинностные значения.

    Это сводная таблица истинности для всех типов атрибутивных высказываний, которые мы обсуждали в прошлом уроке (единичные высказывания не включены отдельно, так как их условия истинности приравниваются к условиям истинности для общих высказываний).

    Далее, понятно, что обычно в рассуждении высказывания каким-то образом связаны между собой с помощью пропозициональных связок. Мы зададим истинностные значения для основных связок, которые используются чаще всего в естественном языке.

    Логическое отрицание используется, когда в высказывании отрицается наличие некоторой ситуации в мире, говорится об её отсутствии.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Например, «Дождь не идёт», «Комната была небольшой», «Неправда, что они друзья». В логике обычно передается через выражения «неверно, что p» или просто «не-p».




    p

    неверно, что p

    и

    л

    л

    и

    Как видно из таблицы, если высказывание истинно, то его отрицание будет принимать значение «ложь», если же высказывание само по себе ложно, то – «истина». Предположим, что вместо p мы имеем высказывание «Маргарет Тэтчер была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании». Это истинное высказывание. Соответственно, если взять его отрицание: «Маргарет Тэтчер не была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании», то оно будет ложным.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Если же взять высказывание «Все болезни от нервов», которое является ложным, то его отрицание «Неверно, что все болезни от нервов» будет истинным.

    Конъюнкция представляет собой одновременное утверждение наличия двух ситуаций. В естественном языке она обычно передаётся союзами «и», «а», «но» и конструкциями типа «в то же время», «одновременно», «вместе» и т.д. Примеры конъюнкции можно увидеть в высказываниях «Пошёл дождь, и я спрятался под навес», «Витя хотел пойти в кино, а я хотел поиграть в футбол», «Белкин ждал директора целый час, но так и не дождался». Как видно, конъюнкция соединяет два или более простых высказываний в одно сложное.






    p

    q

    p и q

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    л

    л

    Конъюнктивное высказывание может быть истинным, только если все его части истинны.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Если хотя бы одно простое высказывание, входящее в её состав ложно, то тогда и конъюнкция в целом ложна. Пример истинной конъюнкции: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мишель». Все следующие высказывания будут ложными: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мэгги», «44-го президента США зовут Борат, а его жену – Мишель», «44-го президента США зовут Джон, а его жену – Элен».

    Дизъюнкция утверждает, что хотя бы одна из двух или более ситуаций имеет место. В естественном языке она выражается словами «или» и «либо». Примеры дизъюнктивных высказываний: «Маша была замужем за Анатолием или за Николаем», «Он работает над проектом ИК-25 либо ПФ-40». Хотя это не так очевидно, как в случае с конъюнкцией, дизъюнкция также объединяет в одно сложное высказывание два или более простых высказывания. Если мы выявляем логическую форму, то правильной была бы запись: «Маша была замужем за Анатолием, или Маша была замужем за Николаем».






    p

    q

    p или q

    и

    и

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    Из таблицы понятно, что дизъюнкция ложна, только когда все простые высказывания, входящие в её состав ложны.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн К примеру, ложным будет высказывание «Уганда находится в Центральной Америке или Западной Европе». Когда хотя бы одна из частей дизъюнкции истина, она в целом также будет истинной. Например, истинным является высказывание «Нот всего семь или шесть». При этом важно отметить, что выражение «хотя бы одна» подразумевает, что и обе части могут быть истинными. Иллюстрацией может служить следующее высказывание: «Велосипеды бывают двухколёсными или трёхколесными». Велосипеды бывают и такими, и другими, поэтому высказывание истинно. Однако нередки случаи, когда мы хотим указать, что лишь одна из альтернатив истинна, но никак не обе вместе. Рассмотрим высказывание «Картина “Герника” принадлежит кисти Пикассо или Тициана». Здесь либо одно, либо другое. Они даже не могли написать её вместе, так как жили в разных веках. В таких ситуациях говорят о строгой дизъюнкции, которая будет истинна исключительно при истинности одного из её членов. Обычно она выражается словами «либо, либо».






    p

    q

    либо p, либо q

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    Материальная импликация – это связка, которая передаёт отношения причинно-следственной связи между высказываниями.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Она выражается словами «если, то». «Если Люся – полная отличница, то и по математике у неё должна быть пятёрка». Смысл импликации состоит в том, что если первое простое высказывание верно, то и второе тоже будет верным.






    p

    q

    Если p, то q

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    и

    л

    л

    и

    Попробуем разобраться с этой таблицей.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Проблема в том, что истинностные значения материальной импликации, в отличие от значений других пропозициональных связок, совсем не являются интуитивными. С первой строкой всё ясно: если первое высказывание верно, и второе высказывание верно, то импликация в целом тоже верна. Пример: «Если птицы улетают на юг, то, значит, наступила осень». Со второй строкой тоже всё более или менее понятно: если первое высказывание истинно, а второе ложно, то отношения следования между ними нет. Вспомните отрывок из «Золотого ключика», в котором Мальвина пытается научить Буратино арифметике:

    – Предположим у вас в кармане два яблока, и некто забрал у вас одно из них. Сколько у вас останется яблок?

    – Два.

    – Но почему?

    – Ведь я не отдам Некту яблоко, пусть он и дерись!

    Рассуждения Буратино можно представить в виде высказывания «Если некто забрал одно из имеющихся у меня двух яблок, у меня всё равно осталось два яблока». Если первая часть истинна, то вторая, безусловно, ложна, а потому и импликация в целом ложна.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Способностей к арифметике у Буратино, действительно, не было.

    С последними двумя строчками дело обстоит сложнее. Проблема в том, что для них сложно придумать пример на естественном языке. Когда логики формулировали значение материальной импликации, они пользовались математическим примером. Они взяли высказывание «Для всякого числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно и двум». Если это высказывание верно для всякого числа, то оно должно быть верным и для любого конкретного числа: 5, 6, 8, 12 и т.д. Если подставить в высказывание 8, то получим: «если 8 кратно 4, то оно кратно и 2». Здесь и первая, и вторая части истинны. Мы получили первую строку. Если подставить число 6, «если 6 кратно 4, то оно кратно и 2», то мы получаем третью строку (первая часть ложна, а вторая истинна). Если подставить 5, «если 5 кратно 4, то 5 кратно и двум», то выходит последняя строка (обе части ложны). Однако мы всё же можем подобрать примеры для всех этих ситуации, поэтому импликация истинна. Но вот для второй строки пример подобрать нельзя: нет такого числа, которое было бы кратно 4, но некратно 2.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Поэтому вторая строка ложна.

    Итак, мы разобрали истинностные значения основных связок, теперь мы можем посмотреть, какие их комбинации приведут к тому, что высказывание подобной формы будет всегда истинным, независимо от его содержания, другими словами – будет логическим законом.

    Логические законы

    Сразу стоит оговориться, что логических законов довольно много. Кроме того, обычно они формулируются в рамках конкретной логической системы: логики высказываний, логики предикатов, силлогистики, модальной логики и т.д. То, что является законом в одной системе, совсем необязательно будет законом в другой системе. Однако существует несколько основных законов, которые будут верны в любой логической системе. О них мы и расскажем.

    1

    Закон тождества

    Закон тождества обычно формулируется в виде формулы «А есть А» или «Если А, то А».

    Проверим этот закон с помощью таблицы истинности. Во-первых, у нас всего одно выражение – А, поэтому таблица будет включать только две комбинации: А истинно и А ложно.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Во-вторых, связка «Если …, то …» выступает как знак материальной импликации. Таким образом, мы должны взять первую и последнюю строку из таблицы для материальной импликации.




    А

    Если А

    то А

    Истинностное значение импликации

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    Закон тождества также может быть сформулирован и в силлогистике для высказываний «Все А есть А» и «Некоторые А есть А»:

    Какой бы термин мы не подставили на место А, высказывания, имеющие эти формы, всегда будут истинными: «Все кошки – это кошки», «Все туфли – это туфли», «Некоторые автомобили – это автомобили», «Некоторые дома – это дома» и т.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн п.

    Как понятно из названия этого закона, он говорит о том, что А тождественно самому себе. Что это означает? Смысл этого закона состоит в утверждении того, что языковые выражения (будь то термин или целое высказывание) не могут менять своё значение в процессе рассуждения. Языковые знаки должны трактоваться однозначно, их употребление должно быть стабильным. Если я утверждаю, что какое-то высказывание истинно, например, что высказывание «Красота спасёт мир» истинно, я не могу следующим шагом утверждать, что оно ложно. И наоборот, если я утверждаю, что какое-то высказывание ложно, оно не может вдруг ни с того ни с сего превратиться в истинное. Рассуждение должно быть последовательным.

    Чаще всего закон тождества нарушается при так называемой подмене понятий: в ходе рассуждения используется один и тот же термин, но значения в него вкладываются каждый раз разные. К примеру, возьмём следующее рассуждение: «Знание – сила. Сила – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Следовательно, знание – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей». Такое рассуждение не может быть верным, так как здесь нарушен принцип тождества: термин «сила» употребляется в первом и втором предложении в разных значениях.

    2

    Закон противоречия

    Закон противоречия гласит: неверно, что А и не-А.

    Построим таблицу истинности.




    А

    Неверно, что

    А

    и

    не-А

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    и

    В первом столбце даны значения А («истина» и «ложь»).А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Соответственно, мы просто копируем эти значения в третий столбец. Значения для не-А в пятом столбце будут прямо обратными для значений А, поэтому получаем «ложь», «истина». В четвёртом столбце располагается конъюнкция между А и не-А. Она не может быть истинной ни в одном из случаев. Поэтому её значение всегда «ложь». Наконец, второй столбец представляет значение выражения полностью – это отрицание конъюнкции между А и не-А. Поскольку конъюнкция ложна, то её отрицание будет истинным. В итоге, мы видим, что выражение в целом всегда истинно.

    Если же мы возьмём выражение типа «А и не-А», то оно как раз будет представлять собой противоречие. Из таблицы мы видим, что такое выражение всегда будет принимать значение «ложь».

    Согласно закону противоречия (иногда его называют законом непротиворечия) невозможно,  чтобы одновременно оказались истинными высказывание и его прямое отрицание: неверно, что снег идёт и в то же время не идёт, неверно, что Катя любит ананасы и не любит ананасы.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Важно сделать следующее замечание: противоречия возникает только тогда, когда утверждение и отрицание делаются об одном и том же объекте, в одно и то же время, в одном и тот же отношении. Например, высказывания «Снег идёт на Северном полюсе, но снег не идёт в Зимбабве», «Толя ходил в кино вчера, а сегодня не ходил», «Катя любит ананасы, а Петя не любит ананасы», «Вася любит кататься на коньках и не любит кататься на лыжах» не являются противоречиями. Все они говорят либо о разных предметах, либо о разных временных отрезках, либо о разных аспектах одного предмета. Поэтому не всё, что выглядит как противоречие, действительно является таковым. Такие кажущиеся противоречия называют мнимыми. Пример мнимого противоречия можно найти в дзенской притче «Бокудзю и ручей»:

    Один дзэнский монах, Бокудзю, говорил: «Иди и пересеки ручей, но не позволяй воде прикоснуться к тебе». 

    А через ручей около его монастыря не было никакого моста. Многие пытались сделать это, но когда они пересекали ручей, то, конечно же, вода прикасалась к ним.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Поэтому однажды один монах пришел к нему и сказал: 

    — Вы задали нам неразрешимую задачу. Мы пытаемся пересечь этот ручей; через него нет никакого моста. Если бы был мост, то мы, конечно же, пересекли бы ручей, и вода не прикоснулась бы к нам. Но мы вынуждены идти через поток, и вода прикасается к нам. 

    И Бокудзю сказал: 

    — Я пойду и пересеку его, а вы наблюдайте. 

    И Бокудзю пересёк ручей. Вода, конечно, прикоснулась к его ногам, и они сказали: 

    — Смотрите, вода прикоснулась к вам! 

    Бокудзю сказал: 

    — Насколько я знаю, она не прикоснулась ко мне. Я был просто свидетелем. Вода прикоснулась к моим ногам, но не ко мне. Я был просто свидетельствующим.

    Между тем, чтобы пересечь ручей без моста и не позволить воде прикоснуться к себе, нет противоречия, потому что в данном случае человеческое я рассматривает в разных отношениях: как тело, и как дух. Тело проходит через ручей и намокает, но дух остаётся безмятежным и не затронутым водой.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Как и закон тождества, закон противоречия требует от нас быть последовательными в рассуждениях. Либо мы принимаем, что высказывание истинно, либо мы принимаем, что оно ложно, но не то и другое вместе. Смешение истины и лжи приводит к тому, что всё рассуждение обесценивается, так как мы уже не можем быть уверены в сделанном выводе. Противоречия опасны потому, что с точки зрения логики из них можно вывести всё что угодно, то есть высказывание формы «Если А и не-А, то В» всегда будет истинным. Вы можете сами проверить это с помощью таблицы истинности. «Если дождь идёт, и дождь не идёт, то Чехов – автор “Войны и мира”». Если допускать противоречия, подобное «рассуждение» оказывается возможным. Поэтому логика ставит запрет на противоречия.

    Нужно сказать, что противоречия бывают не только явными, но и скрытыми. Очевидно, что чаще всего никто старается не допускать в своём рассуждении наличия двух прямо противоположных высказываний. Однако, не редки случаи, когда противоречие прячется за вроде бы правильными формулировками.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Приведём несколько примеров, которые хорошо это иллюстрируют: «Мы заставим их стать свободными», «Мы будем бороться за мир, и камня на камне не останется от нашей борьбы». Понятно, что идея свободы предполагает, что человека не заставляют, а он сам принимает решения, а идея мира предполагает отсутствия борьбы или войны.

    Обычно появление противоречия – это знак того, что в рассуждение где-то закралась ошибка. Исправление этой ошибки, снимет и противоречие. Ошибка может скрываться в сделанных умозаключениях, но может содержаться и в изначально избранных посылках. По этой причине приведение к противоречию играет ключевую роль в так называемых доказательствах от противного. Наверное, все помнят их со школьных уроков геометрии. Доказательство от противного строится на том, что нужно обосновать какой-то тезис, но прямое его доказательство найти не получается. Тогда берётся его отрицание, и в определённый момент рассуждения мы наталкиваемся на противоречие, а это знак того, что отрицание тезиса было неверным.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Так что противоречие может играть и позитивную роль в рассуждении.

    В заключение, добавим, что в советской философии, превозносившей Маркса и Гегеля, появилось целое направление под названием «диалектическая логика», которая якобы допускала наличие противоречий и даже оценивала их положительно. Такая точка зрения строилась на том, что противоречия – это источник движения и развития, а потому это хорошо, если мы сталкиваемся с ними. Ещё и сегодня можно встретить людей, которые придерживаются подобного мнения. Однако нужно понимать, что речь здесь не идёт о противоречии в логическом смысле (как форме высказывания, которое при любой интерпретации принимает значение «ложь»). Скорее, под противоречием тут следует мыслить несовместимость, плохую сочетаемость ситуаций, феноменов, характеров и т.д. Так во Франции конца XVIII века желание буржуазии участвовать в политической жизни страны плохо сочеталось с формой правления абсолютной монархии, что в итоге привело к буржуазной революции. Можно сказать, что между ними возникло противоречие, но это не имеет никакого отношения к логике.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    3

    Закон исключённого третьего

    Закон исключённого третьего имеет следующую форму: А или неверно, что А.

    Построим таблицу истинности:




    А

    или

    неверно, что А

    и

    и

    л

    л

    и

    и

    Если А принимает значение «истина» и «ложь», то «неверно, что А» соответственно будет принимать значения «ложь» и «истина». Их дизъюнкция всегда будет истинной.

    Закон исключённого третьего очень похож на закон противоречия, потому что он точно также утверждает, что высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Истинно либо одно, либо другое, и третьего не дано.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Истинно или высказывание «Глинка был композитором», или его отрицание «Глинка не был композитором», но они не могут быть истинными одновременно. Опять же здесь также стоит следить за тем, чтобы высказывания относились к одному и тому же предмету, говорили о нём в одном и том же отношении и в одно и то же время.

    Нужно отметить, что законом исключённого третьего часто пользуются в качестве уловки, пытаясь представить какую-либо сложную ситуацию в виде простой оппозиции. К примеру: «Ты с нами или ты против нас», «Женщины бывают либо умными, либо красивыми», «Они либо патриоты, либо предатели». Особенно часто этим приёмом любят пользоваться политики, пытаясь представить, будто их оппоненты защищают какую-то радикальную позицию, которой те на самом деле не придерживаются. Отчасти эта склонность сводить всё многообразие фактов и позиций к двум противоположностям обусловлена чисто психологическими механизмами работы человеческого мышления. Всё дело в том, что наше мышление работает по так называемому принципу когнитивной экономии: вместо того, чтобы тратить время и энергию на анализ всей сложности ситуации, мы предпочитаем представить её в виде грубой полярной схемы.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Поэтому если ваш собеседник или демагог из телевизора говорит вам, что «третьего не дано», подумайте, так ли это: не заключается ли между двумя членами оппозиции целый спектр разнообразных возможностей.

    Кроме того, с законом исключённого третьего нужно быть аккуратными ещё и потому, что значения высказываний во многих случаях определяются относительно конкретного контекста. Помните Ивана и его детей из прошлого урока? Вполне можно было бы сказать в соответствии с законом исключённого третьего: «Дети Ивана либо лысы, либо нет, третьего не дано». Но ни одна из этих альтернатив не может нас удовлетворить, так как у Ивана нет детей. Таким образом, прежде чем применять закон исключённого третьего, сверьтесь с контекстом высказывания.


    Законы тождества, противоречия и исключённого третьего фундаментальны и выполняются в любых логических системах. Без соблюдения этих законов невозможно делать правильные умозаключения. Иногда к ним присоединяют ещё так называемый закон достаточного основания.А в с в таблица истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Этот закон гласит, что любое утверждение должно быть корректно обосновано. Хотя это очень важный принцип, на котором должны базироваться любые рассуждения, законом в собственно логическом смысле он не является, так как не представим в виде логической формы, которая при любой трактовке принимала бы значение «истина». Скорее, это общее требование, вытекающее из самой идеи логичного рассуждения, целью которого как раз и является обоснование тезиса путём правильных умозаключений. О том, как правильно делать умозаключения, мы начнём рассказывать в следующем уроке.

    Проверьте свои знания

    Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

    Ксения Галанина

    таблиц истинности | Математика для гуманитарных наук

    Результаты обучения

    • Объединить наборы с использованием логической логики и правильных обозначений
    • Используйте операторы и условные выражения для написания и интерпретации выражений
    • Использование таблицы истинности для интерпретации сложных утверждений или условных выражений
    • Написать таблицу истинности с учетом логического следствия и связанных утверждений — обратного, обратного и противоположного
    • Определить, являются ли два оператора логически эквивалентными
    • Используйте законы ДеМоргана для определения логической эквивалентности утверждения

    Поскольку сложные логические утверждения могут быть сложными для размышления, мы можем создать таблицу истинности, чтобы разбить сложное утверждение на простые утверждения и определить, истинны они или ложны.Таблица поможет отследить все значения истинности простых утверждений, составляющих сложное утверждение, что приведет к анализу всего утверждения.

    Таблица истинности

    Таблица, показывающая, каково результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.

    Пример

    Предположим, вы выбираете новую кушетку, и ваша вторая половинка говорит: «Купите секцию или что-то в этом роде с шезлонгом». Постройте таблицу истинности, которая описывает элементы условий этого утверждения и то, выполняются ли условия.

    Показать решение

    Это сложное утверждение, состоящее из двух более простых условий: «является секционным» и «имеет шезлонг». Для простоты давайте использовать S для обозначения «является секционным» и C для обозначения «имеет шезлонг». Условие S выполняется, если кушетка секционная.

    Таблица истинности для этого будет выглядеть так:

    S С S или C
    т т т
    т F т
    F т т
    F F F

    В таблице T означает истину, а F — ложь.В первой строке, если S истинно и C также истинно, то сложное утверждение «S или C» истинно. Это будет секция, у которой тоже есть шезлонг, что соответствует нашему желанию.

    Помните также, что или в логике не исключает; если диван имеет обе функции, он соответствует условию.

    Некоторые символы, которые обычно используются для и, или, и не упрощают использование таблицы истинности.

    Символы

    Символ [латекс] \ клин [/ латекс] используется для и: A и B обозначены как [латекс] A \ клин {B} [/ латекс].

    Символ [латекс] \ vee [/ latex] используется для или: A или B обозначается [латекс] A \ vee {B} [/ latex]

    Символ [латекс] \ sim [/ latex] используется для обозначения not: not A обозначен [латекс] \ sim {A} [/ latex]

    Вы можете запомнить первые два символа, связав их с формами объединения и пересечения. [latex] A \ wedge {B} [/ latex] — это элементы, которые существуют в обоих наборах, в [latex] A \ cap {B} [/ latex]. Аналогично, [латекс] A \ vee {B} [/ latex] будет элементами, которые существуют в любом наборе, в [latex] A \ cup {B} [/ latex].
    В предыдущем примере таблица истинности на самом деле просто суммировала то, что мы уже знаем о работе оператора or. Таблицы истинности для основных утверждений and, or, and not показаны ниже.

    Основные таблицы истинности

    А B [латекс] A \ клин {B} [/ латекс]
    т т т
    т F F
    F т F
    F F F
    А B [латекс] A \ vee {B} [/ латекс]
    т т т
    т F т
    F т т
    F F F
    А [латекс] \ sim {A} [/ латекс]
    т F
    F т

    Таблицы истинности действительно становятся полезными при анализе более сложных логических операторов.

    Пример

    Создайте таблицу истинности для утверждения [latex] A \ wedge \ sim \ left (B \ vee {C} \ right) [/ latex]

    Показать решение

    Это помогает работать изнутри при создании таблиц истинности и создавать таблицы для промежуточных операций. Мы начинаем с перечисления всех возможных комбинаций значений истинности для A, B и C. Обратите внимание, что первый столбец содержит 4 Ts, за которыми следуют 4 F, второй столбец содержит 2 Ts, 2 F, затем повторяется, а последний столбец чередуется. Этот шаблон обеспечивает учет всех комбинаций.Наряду с этими начальными значениями мы перечислим значения истинности для самого внутреннего выражения, [latex] B \ vee {C} [/ latex].

    А B С B ⋁ C
    т т т т
    т т F т
    т F т т
    т F F F
    F т т т
    F т F т
    F F т т
    F F F F

    Далее мы можем найти отрицание [latex] B \ vee {C} [/ latex], отработав только что созданный столбец [latex] B \ vee {C} [/ latex].

    А B С [латекс] B \ vee {C} [/ латекс] [латекс] \ sim \ left (B \ vee {C} \ right) [/ latex]
    т т т т F
    т т F т F
    т F т т F
    т F F F т
    F т т т F
    F т F т F
    F F т т F
    F F F F т

    Наконец, находим значения A и [latex] \ sim \ left (B \ vee {C} \ right) [/ latex]

    А B С [латекс] B \ vee {C} [/ латекс] [латекс] \ sim \ left (B \ vee {C} \ right) [/ latex] [латекс] A \ клин \ sim \ left (B {\ vee} C \ right) [/ latex]
    т т т т F F
    т т F т F F
    т F т т F F
    т F F F т т
    F т т т F F
    F т F т F F
    F F т т F F
    F F F F т F

    Оказывается, это сложное выражение истинно только в одном случае: если A истинно, B ложно, а C ложно.

    Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие, основанное на значении условия. Теперь мы поговорим о более общей версии условного выражения, которое иногда называют импликацией.

    Последствия

    Импликации — это логические условные предложения, в которых говорится, что утверждение p, называемое антецедентом, подразумевает следствие q.

    Последствия обычно записываются как [латекс] p \ rightarrow {q} [/ latex]

    Последствия аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; [latex] p \ rightarrow {q} [/ latex] обычно пишется как «если p, то q» или «p, следовательно, q.«Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные выражения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Последствия — это логическое утверждение, которое предполагает, что следствие должно логически следовать, если антецедент верен.

    Пример

    Английское утверждение «Если идет дождь, то есть облака, это небо» является логическим следствием. Это веский аргумент, почему или почему нет?

    Показать решение

    Это веский аргумент, потому что если предшествующее «идет дождь» верно, то следствие «в небе облака» также должно быть верным.

    Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не будет дождя. Если антецедент ложен, то импликация становится неактуальной.

    Пример

    Друг говорит вам, что «если вы загрузите эту фотографию в Facebook, вы потеряете работу». Опишите возможные результаты, связанные с этим утверждением, и определите, является ли утверждение вашего друга недействительным.

    Показать решение

    Возможны четыре исхода:

    1. Вы загружаете картинку и сохраняете свою работу.
    2. Вы загружаете картинку и теряете работу.
    3. Вы не загружаете картинку и сохраняете свою работу.
    4. Вы не загружаете картинку и теряете работу.

    Есть только один возможный случай, когда ваш друг лгал — первый вариант, когда вы загружаете изображение и сохраняете свою работу. В последних двух случаях ваш друг ничего не сказал о том, что произойдет, если вы не загрузите изображение, поэтому вы не можете сделать вывод, что его утверждение недействительно, даже если вы не загрузили изображение и все равно потеряли свое работа.

    В традиционной логике импликация считается действительной (истинной) до тех пор, пока нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.

    Истинные значения для последствий

    п. q p → q
    т т т
    т F F
    F т т
    F F т

    Пример

    Постройте таблицу истинности для утверждения [latex] \ left (m \ wedge \ sim {p} \ right) \ rightarrow {r} [/ latex]

    Показать решение

    Начнем с построения таблицы истинности для антецедента.

    м п. [латекс] \ sim {p} [/ латекс] [латекс] м \ клин \ sim {p} [/ латекс]
    т т F F
    т F т т
    F т F F
    F F т F

    Теперь мы можем построить таблицу истинности для импликации

    м п. [латекс] \ sim {p} [/ латекс] [латекс] м \ клин \ sim {p} [/ латекс] r [латекс] \ left (m \ wedge \ sim {p} \ right) \ rightarrow {r} [/ latex]
    т т F F т т
    т F т т т т
    F т F F т т
    F F т F т т
    т т F F F т
    т F т т F F
    F т F F F т
    F F т F F т

    В этом случае, когда m истинно, p ложно и r ложно, тогда антецедент [латекс] m \ wedge \ sim {p} [/ latex] будет истинным, но последствие ложным, что приведет к недействительное следствие; любой другой случай дает верное значение.

    Для любого импликации есть три связанных утверждения: обратное, обратное и противоположное.

    Заявления по теме

    Исходное значение — «если р, то q»: [латекс] p \ rightarrow {q} [/ latex]

    Обратное «если q, то p»: [латекс] q \ rightarrow {p} [/ latex]

    Обратное значение: «если не p, то не q»: [latex] \ sim {p} \ rightarrow \ sim {q} [/ latex]

    Контрапозитив: «если не q, то не p»: [латекс] \ sim {q} \ rightarrow {p} [/ latex]

    Пример

    Снова рассмотрим действительный вывод: «Если идет дождь, то в небе облака.”

    Напишите соответствующие обратное, обратное и контрпозитивное утверждения.

    Показать решение

    Обратное выражение: «Если на небе облака, значит, идет дождь». Это, конечно, не всегда так.

    Обратное будет: «Если не идет дождь, то на небе нет облаков». Точно так же это не всегда так.

    Контрапозитив будет: «Если на небе нет облаков, значит, нет дождя». Это утверждение верно и эквивалентно исходному выводу.

    Глядя на таблицы истинности, мы можем видеть, что исходное условное и контрпозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.

    Последствия Конверс Обратный Контрапозитив
    p q [латекс] p \ rightarrow {q} [/ латекс] [латекс] q {\ rightarrow} p [/ латекс] [латекс] \ sim {p} \ rightarrow \ sim {q} [/ латекс] [латекс] \ sim {q} \ rightarrow \ sim {p} [/ латекс]
    т т т т т т
    т F F т т F
    F т т F F т
    F F т т т т

    Эквивалентность

    Условное утверждение и его противоположность логически эквивалентны.

    Обратное и обратное утверждения логически эквивалентны.

    Логическая логика и таблицы истинности

    Последнее изменение: 5 апреля 2021 г.

    И используется, чтобы найти, где выполняются несколько условий

    ИЛИ используется, чтобы найти, где хотя бы одно из нескольких условий истинно

    Если говорить более подробно, логическая логика — это способ представления того, как обрабатываются биты в компьютере. Давайте подробнее рассмотрим эти условные утверждения (например,грамм. if-else, where или case-when) с таблицами истинности, чтобы понять, как именно работает логическая логика.

    Таблицы истинности

    Например, рассмотрим следующее условие:

    Если: A и B

    Тогда: C

    Возвращает значение C, если значения A и B верны. Мы можем представить это с помощью так называемой таблицы истинности. Таблица истинности — это способ представления всех возможных входных данных и соответствующих им выходных данных.Таблица истинности для этого оператора AND выглядит так:

    А B С
    1 1 1
    1 0 0
    0 1 0
    0 0 0

    В таблице истинности 1 представляет истину, а 0 — ложь.Из этой таблицы видно, что единственное время, когда C истинно, — это когда и A, и B истинны.

    Также есть оператор ИЛИ. Оператор OR верен, когда истинно A OR B:

    Если: A или B

    Тогда: C

    Таблица истинности:

    А B С
    1 1 1
    1 0 1
    0 1 1
    0 0 0

    Эта таблица истинности может немного отличаться от ожидаемой.Это связано с тем, что оператор OR является ложным только в том случае, если оба входных значения (A и B) имеют значение False.

    Построение таблицы истины

    Таблицы истинности могут быть созданы для комбинаций ворот, а также с большим количеством входов. Посмотрите, например, на следующий оператор:

    Если: (A или B) и C

    Тогда: D

    Первый шаг к построению таблицы истинности — решить, сколько строк нам нужно. Чтобы решить это, нужно проверить, сколько входов у нас есть, и возвести два до этого числа.3 или 8 рядов.

    Затем нам нужно решить, сколько столбцов использовать. В этом случае у нас будет один столбец для каждого ввода, один для вывода и один для значений A и B. Таблица истинности будет выглядеть так:

    А B С A или B D
    1 1 1 1 1
    1 1 0 1 0
    1 0 1 1 1
    1 0 0 1 0
    0 1 1 1 1
    0 1 0 1 0
    0 0 1 0 0
    0 0 0 0 0

    Как и ожидалось, когда таблица заполнена, единственный истинный вывод — это когда все 3 ввода истинны.

    Логика короткого замыкания

    Из-за того, как работает логика И и ИЛИ , языки программирования могут использовать так называемую «логику короткого замыкания». Это когда не все входные данные оцениваются, потому что компьютер может угадать ответ по первому проверенному входу. Чтобы увидеть, как это работает, снова посмотрите на таблицу истинности AND:

    А B С
    1 1 1
    1 0 0
    0 1 0
    0 0 0

    Обратите внимание, что, когда A имеет значение False ( 0 ), C также всегда равно False.Это потому, что C истинно только тогда, когда оба входа истинны, поэтому одно ложное означает, что C ложно.

    Если компьютер использует условие И и первый вход ложен, то второй вход, B, никогда не будет проверяться. ИЛИ будет оценивать как истину без проверки второго ввода, когда первый ввод истинен. Эта способность компьютера аннулировать последующие шаги логической логики может сэкономить много ненужной вычислительной мощности для вашего запроса.

    Примеры в SQL

    Пример условия ГДЕ :

     
    ВЫБРАТЬ * ИЗ [таблица]
    
    ГДЕ
    
    [столбец A] = 5 И [столбец B] = 22;
    
      

    Пример CASE-WHEN Заявление

     
    ДЕЛО
    
    КОГДА [столбец A] = 21 ИЛИ [столбец B] = 7 ТО [Действие]
    
    КОНЕЦ
    
      

    Сводка

    • Логическая логика И / ИЛИ может быть визуализирована с помощью таблицы истинности
      • Таблицы истинности два к количеству входных строк в них
      • 1 — правда
      • 0 — ложь
    • Логика короткого замыкания
      • Если первый вход гарантирует конкретный результат, то второй выход не будет прочитан
      • И — первый вход false приведет к короткому замыканию на false
      • ИЛИ — первый вход истины замкнет на истину

    Написано:

    Мэтью Лэйн

    Проверено:

    Мэтт Дэвид

    Примеры таблиц истинности

    • Нарисуйте
    таблица истинности для A + BC.
    A B C BC A + BC
    0 0 0 0 0
    0 0 1 0 0
    0 1 0 0 0
    0 1 1 1 1
    1 0 0 0 1
    1 0 1 0 1
    1 1 0 0 1
    1 1 1 1 1
    • Нарисуйте
    таблица истинности для A (B + D).
    A B D B + D A (B + D)
    0 0 0 0 0
    0 0 1 1 0
    0 1 0 1 0
    0 1 1 1 0
    1 0 0 0 0
    1 0 1 1 1
    1 1 0 1 1
    1 1 1 1 1
    • Нарисуйте
    таблица истинности для (A + B) (A + C).
    A B C A + B A + C (A + B) (A + C)
    0 0 0 0 0 0
    0 0 1 0 1 0
    0 1 0 1 0 0
    0 1 1 1 1 1
    1 0 0 1 1 1
    1 0 1 1 1 1
    1 1 0 1 1 1
    1 1 1 1 1 1

    Введение в таблицы истинности и булеву алгебру | Бретт Берри | Math Hacks

    Таблица истинности — это удобное маленькое логическое устройство, которое используется не только в математике, но также в компьютерных науках и философии, что делает его отличным междисциплинарным инструментом.Обозначения могут отличаться в зависимости от того, в какой дисциплине вы работаете, но основные концепции остаются теми же.

    Этот учебник даст вам знания, необходимые для понимания символической логики. Мы начнем с определения общих операторов, а в следующем посте я покажу вам, как анализировать более сложное логическое утверждение.

    → Больше уроков по математике можно найти в Math Hacks на YouTube! ←

    Булева алгебра — это ветвь алгебры, которая включает логические значения, то есть истинные и ложные значения.Обычно они обозначаются буквами T или 1 для истины и F или 0 для false. Используя эту простую систему, мы можем свести сложные утверждения в удобоваримые логические формулы.

    Унарные операторы — это самые простые операции, поскольку они могут применяться к одному значению True или False.

    Идентичность

    Идентичность — наш тривиальный случай. В нем указано, что True — это правда, а False — это ложь.

    Отрицание

    Оператор отрицания обычно обозначается тильдой (~) или символом ¬.Он отрицает или меняет истинную ценность чего-либо.

    Мы можем показать эту взаимосвязь в таблице истинности. Таблица истинности — это способ систематизировать информацию, чтобы перечислить все возможные сценарии.

    Назовем первый столбец p для предложения. Во втором столбце мы применяем оператор к p, в данном случае это ~ p (читай: не p). Итак, как вы можете видеть, если наша посылка начинается как Истина, и мы ее отрицаем, мы получаем Ложь, и наоборот.

    Таблица истинности для логического отрицания в обозначениях TF и ​​01

    Logical True и Logical False

    Это довольно странные операции.Логическая истина всегда приводит к Истине, а логическая ложь всегда приводит к Ложи, независимо от посылки. Эти операции часто называют «всегда истинными» и «всегда ложными».

    Логическая истина (также известная как «всегда верно») в обозначениях TF и ​​01 Логическая ложь (также известная как «всегда ложь») в обозначениях TF и ​​01

    Для двоичных операторов требуются два предложения. Мы будем использовать p и q в качестве примеров предложений.

    AND

    Оператор AND (символически: ∧), также известный как логическая конъюнкция, требует, чтобы и p, и q были истинными, чтобы результат был истинным.Все остальные случаи приводят к ложному результату. Логически это то же самое, что пересечение двух множеств в диаграмме Венна.

    Таблицы истинности | Блестящая вики по математике и науке

    У мистера и миссис Тан пятеро детей — Альфред, Бренда, Чарльз, Дариус, Эрик — предположительно разного возраста.

    1. Если Чарльз не самый старший, то Альфред.

    2. Если Эрик не самый младший, то Бренда.

    3. Если Дарий не самый старший, то он сразу же младше Чарльза.

    4. Если Альфред старше Бренды, то Дариус — самый старший.

    Определите порядок рождения пятерых детей с учетом вышеуказанных фактов.


    Сдаем

    • ааа быть предположением, что Чарльз не самый старший;
    • bbb — предположение, что Альфред самый старший;
    • ccc означает, что Эрик не самый младший;
    • означает, что Бренда самая младшая;
    • eee быть предположением, что Дарий не самый старший;
    • fff — предположение, что Дарий просто моложе Карла;
    • ggg — это предположение, что Альфред старше Бренды.

    Из утверждения 1, a → ba \ rightarrow ba → b.
    Из утверждения 2, c → dc \ rightarrow dc → d.
    Из утверждения 3, e → fe \ rightarrow fe → f.
    Из утверждения 4, g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e, где ¬e \ neg e¬e обозначает отрицание eee.

    Обратите внимание, что если Альфред самый старший (b) (b) (b), он старше всех своих четырех братьев и сестер, включая Бренду, поэтому b → gb \ rightarrow gb → g. Поскольку g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e (утверждение 4), b → ¬eb \ rightarrow \ neg eb → ¬e по транзитивности. Но если у нас есть b, b, b, что означает, что Альфред самый старший, из этого логически следует, что eee, потому что Дарий не может быть самым старым (только один человек может быть самым старым).Переводя это, мы имеем b → eb \ rightarrow eb → e.

    Следовательно, (b → e) ∧ (b → ¬e) = (¬b∨e) ∧ (¬b∨¬e) = ¬b∨ (e∧¬e) = ¬b∨C = ¬b, ( b \ rightarrow e) \ клин (b \ rightarrow \ neg e) = (\ neg b \ vee e) \ wedge (\ neg b \ vee \ neg e) = \ neg b \ vee (e \ wedge \ neg e) = \ neg b \ vee C = \ neg b, (b → e) ∧ (b → ¬e) = (¬b∨e) ∧ (¬b∨¬e) = ¬b∨ (e∧¬e) = ¬b∨C = ¬b, где CCC означает противоречие. Единственно возможный вывод — ¬b \ neg b¬b, где Альфред не самый старший. Из утверждения 1, a → ba \ rightarrow ba → b, поэтому по модулю tollens ¬b → ¬a \ neg b \ rightarrow \ neg a¬b → ¬a.Следовательно, Чарльз — самый старший.

    Обратите внимание, что по чистой логике ¬a → e \ neg a \ rightarrow e¬a → e, где Чарльз, будучи самым старым, означает, что Дарий не может быть самым старым. Из утверждения 4, g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e, поэтому по модулю tollens, e = ¬ (¬e) → ¬ge = \ neg (\ neg e) \ rightarrow \ neg ge = ¬ (¬e ) → ¬g. Из утверждения 3, e → fe \ rightarrow fe → f, поэтому по модусу ponens наш вывод eee приводит к другому выводу fff. С fff, поскольку Чарльз — самый старший, Дарий должен быть вторым по возрасту.

    Поскольку ggg означает, что Альфред старше Бренды, ¬g \ neg g¬g означает, что Альфред моложе Бренды, поскольку они не могут быть одного возраста.Поскольку есть кто-то моложе Бренды, она не может быть самой младшей, поэтому у нас ¬d \ ​​neg d¬d. Поскольку c → dc \ rightarrow dc → d из утверждения 2, по модулю tollens ¬d → ¬c \ neg d \ rightarrow \ neg c¬d → ¬c. Следовательно, Эрик самый младший.

    Принимая во внимание все выводы, выделенные жирным шрифтом, единственно возможный порядок рождения: Чарльз, Дариус, Бренда, Альфред, Эрик. □ _ \ квадрат □

    Преобразование таблиц истинности в логические выражения | Булева алгебра

    При проектировании цифровых схем разработчик часто начинает с таблицы истинности, описывающей, что схема должна делать.

    Задача проектирования в основном состоит в том, чтобы определить, какой тип схемы будет выполнять функцию, описанную в таблице истинности.

    В то время как некоторые люди, кажется, обладают естественной способностью взглянуть на таблицу истинности и сразу же представить необходимые логические схемы или схемы релейной логики для решения задачи, для остальных из нас доступны процедурные методы.

    Здесь булева алгебра самым ярким образом доказывает свою полезность.

    Чтобы проиллюстрировать этот процедурный метод, мы должны начать с реалистичной задачи дизайна.

    Предположим, нам было поручено разработать схему обнаружения пламени для установки для сжигания токсичных отходов.

    Сильный жар огня предназначен для нейтрализации токсичности отходов, вводимых в мусоросжигательную печь.

    Такие методы сжигания обычно используются для нейтрализации медицинских отходов, которые могут быть заражены смертельными вирусами или бактериями:

    Пока в печи для сжигания поддерживается пламя, можно безопасно закачивать в нее отходы для нейтрализации.

    Однако, если бы пламя было потушено, было бы небезопасно продолжать впрыскивать отходы в камеру сгорания, так как они выходили бы из выхлопной трубы не нейтрализованными и представляли бы угрозу для здоровья любого, кто находится в непосредственной близости от выхлопной трубы.

    Что нам нужно в этой системе, так это надежный способ обнаружения наличия пламени и возможность впрыскивания отходов только в том случае, если наличие пламени «подтверждается» системой обнаружения пламени.

    Существует несколько различных технологий обнаружения пламени: оптическая (обнаружение света), тепловая (обнаружение высокой температуры) и электропроводность (обнаружение ионизированных частиц на пути пламени), каждая из которых имеет свои уникальные преимущества и недостатки.

    Предположим, что из-за высокой степени опасности, связанной с возможным выходом ненейтрализованных отходов из выхлопа этой инсинерационной установки, было решено сделать систему обнаружения пламени избыточной (несколько датчиков), чтобы отказ одного датчика не привести к выбросу токсинов из выхлопных газов.

    Каждый датчик оснащен нормально разомкнутым контактом (разомкнут, если пламя отсутствует, замкнутым, если пламя обнаружено), который мы будем использовать для активации входов логической системы:

    Наша задача сейчас состоит в том, чтобы спроектировать схему логической системы для открытия сливного клапана тогда и только тогда, когда есть хорошее пламя, подтвержденное датчиками.

    Однако сначала мы должны решить, каким должно быть логическое поведение этой системы управления.

    Мы хотим, чтобы клапан открывался, если только один из трех датчиков обнаруживает пламя? Вероятно, нет, потому что это противоречит цели наличия нескольких датчиков.

    Если какой-либо из датчиков выйдет из строя таким образом, что будет ложно указывать на наличие пламени, когда его не было, логическая система, основанная на принципе «любой из трех датчиков, показывающих пламя», выдала бы такой же выходной сигнал. что система с одним датчиком будет с таким же отказом.

    Гораздо лучшим решением было бы спроектировать систему так, чтобы клапан открывался тогда и только тогда, когда все три датчика обнаруживают хорошее пламя.

    Таким образом, любой отдельный неисправный датчик, ложно показывающий пламя, не может удерживать клапан в открытом положении; скорее, для возникновения этого опасного состояния потребовалось бы, чтобы все три датчика вышли из строя одним и тем же способом — крайне маловероятный сценарий.

    Таким образом, наша таблица истинности будет выглядеть так:

    Не требуется особого понимания, чтобы понять, что эта функциональность может быть сгенерирована с помощью логического элемента И с тремя входами: выход схемы будет «высоким», если и только если вход A И вход B И вход C все «высокие»: ”

    При использовании релейной схемы мы могли бы создать эту функцию И, подключив три контакта реле последовательно или просто подключив три контакта датчика последовательно, так что единственный способ подачи электроэнергии для открытия сливного клапана — это если все три контакта датчики показывают пламя:

    Хотя эта стратегия проектирования максимизирует безопасность, она делает систему очень восприимчивой к отказам датчиков противоположного типа.

    Предположим, что один из трех датчиков должен был выйти из строя таким образом, что он показал отсутствие пламени, когда действительно было хорошее пламя в камере сгорания мусоросжигательной установки.

    Из-за этого единственного отказа перепускной клапан отключался без необходимости, что приводило к потере производственного времени и потере топлива (разжигание огня, который не использовался для сжигания отходов).

    Было бы неплохо иметь логическую систему, которая допускала бы этот вид сбоя без ненужного отключения системы, но все же обеспечивала бы резервирование датчика, чтобы поддерживать безопасность в случае, если какой-либо отдельный датчик выйдет из строя «на высоком уровне» (показывая пламя вообще раз, независимо от того, был ли он обнаружен).

    Стратегия, которая удовлетворит обе потребности, — это логика датчика «два из трех», при которой сливной клапан открывается, если хотя бы два из трех датчиков показывают хорошее пламя.

    Таблица истинности для такой системы будет выглядеть так:

    Использование суммы произведений

    Здесь не обязательно очевидно, какая логическая схема удовлетворяет таблице истинности.

    Однако простой метод проектирования такой схемы можно найти в стандартной форме логического выражения, называемой формой суммы произведений или СОП.

    Как вы могли догадаться, логическое выражение Sum-Of-Products — это буквально набор логических терминов, сложенных (суммированных) вместе, причем каждый член представляет собой мультипликативную (произведенную) комбинацию логических переменных.

    Пример выражения SOP может быть примерно таким: ABC + BC + DF, сумма произведений «ABC», «BC» и «DF».

    Выражения суммы произведений

    легко сгенерировать из таблиц истинности.

    Все, что нам нужно сделать, это проверить таблицу истинности для любых строк, где выход является «высоким» (1), и написать логический член продукта, который будет равен значению 1 с учетом этих входных условий.

    Например, в четвертой строке ниже в таблице истинности для нашей логической системы два из трех, где A = 0, B = 1 и C = 1, термин продукта будет A’BC, поскольку это термин будет иметь значение 1 тогда и только тогда, когда A = 0, B = 1 и C = 1:

    Три другие строки таблицы истинности имеют выходное значение 1, поэтому эти строки также нуждаются в логических выражениях произведения для их представления:

    Наконец, мы соединяем эти четыре логических выражения продукта вместе путем сложения, чтобы создать одно логическое выражение, описывающее таблицу истинности в целом:

    Теперь, когда у нас есть логическое выражение суммы произведений для функции таблицы истинности, мы можем легко спроектировать логический вентиль или релейную логическую схему на основе этого выражения:

    К сожалению, обе эти схемы довольно сложны и нуждаются в упрощении.

    Используя технику булевой алгебры, выражение можно значительно упростить:

    В результате упрощения теперь мы можем создавать гораздо более простые логические схемы, выполняющие ту же функцию, в форме ворот или реле:

    Любой из этих контуров будет адекватно выполнять задачу по управлению сливным клапаном инсинератора на основе проверки пламени от двух из трех датчиков пламени.

    Как минимум, это то, что нам нужно, чтобы иметь безопасную установку для сжигания отходов.

    Однако мы можем расширить функциональность системы, добавив к ней логическую схему, предназначенную для определения того, не согласуется ли один из датчиков с двумя другими.

    Если все три датчика работают правильно, они должны обнаруживать пламя с одинаковой точностью.

    Таким образом, все они должны регистрировать «низкий» (000: нет пламени) или все регистрировать «высокий» (111: хорошее пламя).

    Любая другая комбинация выходов (001, 010, 011, 100, 101 или 110) представляет собой разногласие между датчиками и, следовательно, может служить индикатором потенциального отказа датчика.

    Если бы мы добавили схему для обнаружения любого из шести состояний «несоответствия датчика», мы могли бы использовать выход этой схемы для активации тревоги.

    Кто бы ни следил за мусоросжигательной установкой, он должен был бы принять решение либо продолжить работу с возможным неисправным датчиком (входы: 011, 101 или 110), либо выключить инсинератор для обеспечения абсолютной безопасности.

    Также, если инсинератор выключен (нет пламени), и один или несколько датчиков по-прежнему показывают пламя (001, 010, 011, 100, 101 или 110), в то время как другие указывают на отсутствие пламени , будет известно, что существует определенная проблема с датчиком.

    Первым шагом в разработке этой схемы обнаружения «рассогласования датчиков» является написание таблицы истинности, описывающей ее поведение.

    Поскольку у нас уже есть таблица истинности, описывающая выходные данные логической схемы «хорошего пламени», мы можем просто добавить в таблицу еще один выходной столбец для представления второй схемы и составить таблицу, представляющую всю логическую систему:

    Хотя можно сгенерировать выражение суммы произведений для этого нового столбца таблицы истинности, для этого потребуется шесть членов по три переменные в каждом!

    Такое логическое выражение потребовало бы много шагов для упрощения с большим потенциалом для совершения алгебраических ошибок:

    Использование сумм

    Альтернативой генерации выражения суммы продуктов для учета всех «высоких» (1) условий вывода в таблице истинности является создание выражения «продукт сумм», или POS, для учета всех « low »(0) вместо этого.

    Поскольку в последнем столбце таблицы истинности гораздо меньше экземпляров «низкого» вывода, результирующее выражение «произведение сумм» должно содержать меньше членов.

    Как следует из названия, выражение «произведение сумм» представляет собой набор добавленных членов (сумм), которые умножаются (произведение) вместе.

    Примером POS-выражения может быть (A + B) (C + D), произведение сумм «A + B» и «C + D».

    Для начала мы определяем, какие строки в последнем столбце таблицы истинности имеют «низкий» (0) выход, и записываем член логической суммы, который будет равен 0 для условий ввода этой строки.

    Например, в первой строке таблицы истинности, где A = 0, B = 0 и C = 0, член суммы будет (A + B + C), поскольку этот член будет иметь значение 0, если и только если A = 0, B = 0 и C = 0:

    Только одна другая строка в последнем столбце таблицы истинности имеет «низкий» (0) вывод, поэтому все, что нам нужно, это еще один член суммы для завершения нашего выражения «произведение сумм».

    Этот последний член суммы представляет выход 0 для входных условий A = 1, B = 1 и C = 1.

    Следовательно, термин должен быть записан как (A ’+ B’ + C ’), потому что только сумма дополненных входных переменных будет равна 0 только для этого условия:

    Завершенное выражение «произведение сумм», конечно же, представляет собой мультипликативную комбинацию этих двух элементов суммы:

    В то время как выражение Sum-Of-Products может быть реализовано в форме набора логических элементов AND, выходы которых подключаются к единственному логическому элементу OR, выражение Product-Of-Sums может быть реализовано как набор логических элементов OR, входящих в одиночные ворота И:

    Соответственно, в то время как выражение Sum-Of-Products может быть реализовано как параллельный набор последовательно соединенных контактов реле, выражение Product-Of-Sums может быть реализовано как последовательный набор параллельно соединенных контактов реле:

    Две предыдущие схемы представляют разные версии только логической схемы «несоответствие датчика», а не схемы (ей) обнаружения «хорошего пламени».

    Вся логическая система будет представлять собой комбинацию цепей «хорошего пламени» и «несоответствия датчика», показанных на одной схеме.

    Реализованная в программируемом логическом контроллере (ПЛК), вся логическая система может выглядеть примерно так:

    Как видите, стандартные логические формы суммы произведений и произведений суммы являются мощными инструментами при применении к таблицам истинности.

    Они позволяют нам вывести логическое выражение — и, в конечном счете, реальную логическую схему — из ничего, кроме таблицы истинности, которая представляет собой письменную спецификацию того, что мы хотим, чтобы логическая схема выполняла.

    Возможность перехода от письменной спецификации к реальной схеме с использованием простых детерминированных процедур означает, что можно автоматизировать процесс проектирования цифровой схемы.

    Другими словами, компьютер можно запрограммировать на создание собственной логической схемы на основе спецификации таблицы истинности!

    Шаги, которые нужно пройти от таблицы истинности до конечной схемы, настолько однозначны и прямолинейны, что для их выполнения не требуется, если вообще требуется, творчества или другой оригинальной мысли.

    ОБЗОР:

    • Sum-Of-Products, или SOP, логические выражения могут быть легко сгенерированы из таблиц истинности, определив, какие строки таблицы имеют выход 1, написав по одному термину продукта для каждой строки и, наконец, суммируя все термины продукта. . Это создает логическое выражение, представляющее таблицу истинности в целом.
    • Выражения

    • Sum-Of-Products хорошо подходят для реализации в виде набора логических элементов И (продуктов), подаваемых в один вентиль ИЛИ (сумма).
    • Product-Of-Sums, или POS, логические выражения также могут быть сгенерированы из таблиц истинности довольно легко, путем определения, какие строки таблицы имеют выход 0, написания одного члена суммы для каждой строки и, наконец, умножения всех членов суммы . Это создает логическое выражение, представляющее таблицу истинности в целом.
    • Выражения

    • «произведение сумм» хорошо подходят для реализации в виде набора логических элементов ИЛИ (сумм), поступающих в один вентиль И (произведение).

    СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

    Таблицы истинности — Критическое мышление

    В этой главе представлен способ оценки предложений и аргументов SL.Хотя метод таблицы истинности может быть трудоемким, это чисто механическая процедура, не требующая интуиции или особой проницательности.

    Любое неатомарное предложение SL состоит из атомарных предложений с предложениями связок. Истинность составного предложения зависит только от истинностной ценности составляющих его атомарных предложений. Например, чтобы узнать истинностное значение (D ↔ E), вам нужно знать только истинное значение D и истинностное значение E. Связки, которые работают таким образом, называются ИСТИННО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ.

    В этой главе мы воспользуемся тем фактом, что все логические операторы в SL являются функциональными по истинности — это позволяет создавать таблицы истинности для определения логических характеристик предложений. Однако вы должны понимать, что это возможно не для всех языков. В английском языке можно сформировать новое предложение из любого более простого предложения X, сказав: «Возможно, что X». Истинность этого нового предложения не зависит напрямую от истинности X. Даже если X ложно, возможно, в некотором смысле X мог быть истинным — тогда новое предложение будет истинным.В некоторых формальных языках, называемых модальными логиками, есть оператор возможности. В модальной логике мы могли бы перевести «Возможно, что X» как ◊X. Однако за возможность переводить подобные предложения приходится платить: оператор ◊ не является функциональным по истинности, и поэтому модальные логики не поддаются таблицам истинности.

    Значение истинности предложений, содержащих только одну связку, задается характеристической таблицей истинности для этой связки. В предыдущей главе мы написали характерные таблицы истинности, где буква «T» соответствует истине, а буква «F» — ложь.Однако важно отметить, что речь идет не об истине в каком-либо глубоком или космическом смысле. Поэты и философы могут долго спорить о природе и значении истины, но функции истины в SL — это просто правила, которые преобразуют входные значения в выходные значения. Чтобы подчеркнуть это, в этой главе мы будем писать «1» и «0» вместо «T» и «F». Несмотря на то, что мы интерпретируем «1» как значение «истина» и «0» как значение «ложь», компьютеры можно запрограммировать на заполнение таблиц истинности чисто механическим способом.В машине «1» может означать, что регистр включен, а «0» — что регистр выключен. Математически это всего лишь два возможных значения, которые может иметь предложение SL. Таблицы истинности для связок SL, записанные в единицах и нулях, приведены в таблице 5.1.

    Характерная таблица истинности для соединения, например, дает условия истинности для любого предложения формы (A и B). Даже если конъюнкты A и B являются длинными сложными предложениями, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны как A, так и B.Рассмотрим предложение (H & I) → H. Мы рассматриваем все возможные комбинации истинного и ложного для H и I, что дает нам четыре строки. Затем мы копируем значения истинности для букв предложения и записываем их под буквами предложения.

    Теперь рассмотрим субпредложение H & I. Это конъюнкция A и B с H как A и с I как B. Оба H и I истинны в первой строке. Поскольку конъюнкция истинна, когда истинны оба конъюнкта, мы пишем 1 под символом конъюнкции.Продолжаем остальные три ряда и получаем:

    Все предложение является условным A → B с (H & I) как A и с H как B. Например, во второй строке (H & I) ложно, а H истинно. Поскольку условное выражение истинно, когда антецедент ложно, мы пишем 1 во второй строке под условным символом. Продолжаем остальные три ряда и получаем:

    Столбец единиц под условным выражением говорит нам, что предложение (H & I) → I истинно независимо от истинностных значений H и I.Они могут быть истинными или ложными в любой комбинации, и сложное предложение все равно остается истинным. Очень важно, чтобы мы рассмотрели все возможные комбинации. Если бы у нас была только двухстрочная таблица истинности, мы не могли бы быть уверены, что предложение не было ложным для некоторой другой комбинации значений истинности.

    В этом примере мы не повторили все записи в каждой последующей таблице. Однако при написании таблиц истинности на бумаге непрактично стирать целые столбцы или переписывать всю таблицу на каждом этапе.Таблица истинности может быть записана так:

    , хотя она и более многолюдна.

    Большинство столбцов под предложением предназначены только для бухгалтерских целей. Когда вы станете лучше разбираться в таблицах истинности, вам, вероятно, больше не нужно будет копировать столбцы для каждой буквы предложения. В любом случае значение истинности предложения в каждой строке — это просто столбец под основным логическим оператором предложения; в этом случае столбец под условным.

    В ТАБЛИЦЕ ПОЛНОЙ ИСТИНЫ есть строка для всех возможных комбинаций 1 и 0 для всех букв предложения.Размер полной таблицы истинности зависит от количества различных букв предложения в таблице. Предложение, содержащее только одну букву предложения, требует только двух строк, как в характерной таблице истинности для отрицания. Это верно, даже если одна и та же буква повторяется много раз, как в предложении [(C ↔ C) → C] & ¬ (C → C). Полная таблица истинности требует только двух строк, потому что есть только две возможности: C может быть истинным или ложным. Буква из одного предложения никогда не может быть отмечена как 1, так и 0 в одной строке.Таблица истинности для этого предложения выглядит так:

    Глядя на столбец под основной связкой, мы видим, что предложение ложно в обеих строках таблицы; то есть ложно независимо от того, истинно C или ложно.

    Предложение, содержащее две буквы предложения, требует четырех строк для полной таблицы истинности, как в характерных таблицах истинности и таблице для (H & I) → I.

    Для предложения, состоящего из трех букв предложения, требуется восемь строк.Например:

    Из этой таблицы мы знаем, что предложение M & (N ∨ P) может быть истинным или ложным, в зависимости от значений истинности M, N и P.

    Полная таблица истинности для предложения, содержащего четыре разных буквы предложения, требует 16 строк. Пять букв, 32 строки. Шесть букв, 64 строки. И так далее. Чтобы быть совершенно общим: если полная таблица истинности имеет n разных букв предложения, то она должна иметь 2 n строк.

    Чтобы заполнить столбцы полной таблицы истинности, начните с самой правой буквы предложения и чередуйте единицы и нули.В следующем столбце слева напишите две единицы, два нуля и повторите. В третьей букве предложения напишите четыре единицы, за которыми следуют четыре нуля. Это дает восьмистрочную таблицу истинности, подобную приведенной выше.

    Для 16-строчной таблицы истинности следующий столбец букв предложения должен содержать восемь единиц, за которыми следуют восемь нулей. Для таблицы из 32 строк в следующем столбце будет 16 единиц, за которыми следуют 16 нулей. И так далее.

    Тавтологии, противоречия и условные предложения

    Напомним, что английское предложение является тавтологией, если оно должно быть истинным с точки зрения логики.Имея полную таблицу истинности, мы рассматриваем все возможные варианты развития мира. Если предложение истинно в каждой строке полной таблицы истинности, то с точки зрения логики оно истинно, независимо от того, на что похож мир.

    Итак, предложение является ТАВТОЛОГИЕЙ В SL, если столбец под его главной связкой равен 1 в каждой строке полной таблицы истинности.

    И наоборот, предложение является ПРОТИВОРЕЧЕНИЕМ В SL, если столбец под его основной связкой равен 0 в каждой строке полной таблицы истинности.

    Предложение является УСЛОВНЫМ В СЛ, если оно не является ни тавтологией, ни противоречием; т.е. если он равен 1 хотя бы в одной строке и 0 хотя бы в одной строке.

    Из таблиц истинности в предыдущем разделе мы знаем, что (H & I) → H — тавтология, что [(C ↔ C) → C] & ¬ (C → C) — противоречие и что M & ( N ∨ P) является условным.

    Логическая эквивалентность

    Два предложения в английском языке логически эквивалентны, если они имеют то же значение истинности, что и логика материи.Еще раз, таблицы истинности позволяют нам определить аналогичную концепцию для SL: два предложения ЛОГИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ В SL, если они имеют одинаковое значение истинности в каждой строке полной таблицы истинности.

    Рассмотрим предложения ¬ (A ∨ B) и ¬A & ¬B. Они логически эквивалентны? Чтобы выяснить это, мы составляем таблицу истинности.

    Найдите в столбцах основные связки; отрицание для первого предложения, союз для второго. В первых трех рядах оба равны 0. В последнем ряду оба равны 1.Поскольку они совпадают в каждой строке, эти два предложения логически эквивалентны.

    Последовательность

    Набор предложений на английском языке является непротиворечивым, если логически возможно, чтобы все они одновременно были истинными. Набор предложений ЛОГИЧЕСКИ СООТВЕТСТВУЕТ SL, если есть хотя бы одна строка полной таблицы истинности, в которой все предложения истинны. В противном случае НЕДОСТАТОЧНО.

    Срок действия

    Аргумент на английском языке действителен, если логически невозможно, чтобы посылка была истинной, а заключение было ложным одновременно.Аргумент VALID IN SL, если нет строки полной таблицы истинности, в которой все предпосылки равны 1, а заключение — 0; аргумент НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНО В SL, если такая строка существует.

    Рассмотрим этот аргумент:

    Это действительно так? Чтобы выяснить это, мы составляем таблицу истинности.

    Да, аргумент верен. Единственный ряд, в котором оба посылки равны 1, — это второй ряд, и в этом ряду вывод также равен 1.

    Чтобы показать, что предложение является тавтологией, нам нужно показать, что оно равно 1 в каждой строке. Итак, нам нужна полная таблица истинности. Однако, чтобы показать, что предложение не является тавтологией, нам нужна только одна строка: строка, на которой предложение равно 0. Следовательно, чтобы показать, что что-то не является тавтологией, достаточно предоставить однострочное частичное. таблица истинности — независимо от того, сколько букв предложения может быть в предложении.

    Рассмотрим, например, предложение (U&T) → (S&W).Мы хотим показать, что это не тавтология, предоставив частичную таблицу истинности. Заполняем 0 для всего предложения. Основная связка предложения — условная. Чтобы условие было ложным, антецедент должен быть истинным (1), а следствие — ложным (0). Итак, мы заполняем их в таблице:

    Для того, чтобы (U & T) было истинным, оба U и T должны быть истинными.

    Теперь нам просто нужно сделать (S&W) ложным. Для этого нам нужно сделать хотя бы одно из S и W.При желании мы можем сделать ложными и S, и W. Важно только то, что на этой строчке все предложение оказывается ложным. Приняв произвольное решение, завершаем таблицу так:

    Для демонстрации противоречия требуется полная таблица истинности. Чтобы показать, что что-то не является противоречием, требуется только однострочная частичная таблица истинности, где предложение истинно в этой единственной строке.

    Предложение условно, если оно не является ни тавтологией, ни противоречием.Таким образом, чтобы показать, что предложение является условным, требуется двухстрочная частичная таблица истинности: предложение должно быть истинным в одной строке и ложным — в другой. Например, мы можем показать, что приведенное выше предложение зависит от этой таблицы истинности:

    Таблица 5.2: Вам нужна полная или частичная таблица истинности? Это зависит от того, что вы пытаетесь показать.

    Обратите внимание, что существует множество комбинаций значений истинности, которые сделали бы предложение истинным, поэтому есть много способов написать вторую строку.

    Чтобы показать, что предложение не является условным, необходимо предоставить полную таблицу истинности, потому что для этого требуется показать, что предложение является тавтологией или противоречием. Если вы не знаете, является ли конкретное предложение условным, то вы не знаете, понадобится ли вам полная или частичная таблица истинности. Вы всегда можете начать работу над полной таблицей истинности. Если вы заполните строки, которые показывают, что предложение условно, вы можете остановиться. Если нет, то заполните таблицу истинности.Несмотря на то, что две тщательно отобранные строки покажут, что условное предложение является условным, нет ничего плохого в том, чтобы заполнить больше строк.

    Чтобы показать, что два предложения логически эквивалентны, необходимо предоставить полную таблицу истинности. Чтобы показать, что два предложения не являются логически эквивалентными, требуется только однострочная частичная таблица истинности: сделайте таблицу так, чтобы одно предложение было истинным, а другое — ложным.

    Чтобы показать, что набор предложений непротиворечив, требуется предоставить одну строку таблицы истинности, в которой все предложения истинны.Остальная часть таблицы не имеет значения, поэтому подойдет однострочная частичная таблица истинности. С другой стороны, чтобы показать, что набор предложений непоследователен, требуется полная таблица истинности: вы должны показать, что в каждой строке таблицы хотя бы одно из предложений ложно.

    Чтобы показать, что аргумент действителен, требуется полная таблица истинности. Чтобы показать, что аргумент недействителен, необходимо только предоставить однострочную таблицу истинности: если вы можете создать строку, в которой все предпосылки истинны, а вывод ложен, тогда аргумент недействителен.

    Таблица 5.2 подводит итог, когда требуется полная таблица истинности и когда подойдет частичная таблица истинности.

    V. Практические упражнения

    Если вам нужна дополнительная практика, вы можете составить таблицы истинности для любых предложений и аргументов в упражнениях предыдущей главы.

    * Часть A Определите, является ли каждое предложение тавтологией, противоречием или условным предложением. Обоснуйте свой ответ полной или частичной таблицей истинности, если это необходимо.

    * Часть B Определите, является ли каждая пара предложений логически эквивалентной. Обоснуйте свой ответ полной или частичной таблицей истинности, если это необходимо.

    * Часть C Определите, является ли каждый набор предложений последовательным или непоследовательным. Обоснуйте свой ответ полной или частичной таблицей истинности, если это необходимо.

    * Часть D Определите, действителен ли каждый аргумент. Обоснуйте свой ответ полной или частичной таблицей истинности, если это необходимо.

    * Часть E Ответьте на каждый из приведенных ниже вопросов и обоснуйте свой ответ.

    Часть F Мы могли бы убрать двусмысленное (↔) из языка. Если бы мы сделали это, мы все равно могли бы писать «A ↔ B», чтобы предложения было легче читать, но это было бы сокращением для (A → B) и (B → A). Полученный язык был бы формально эквивалентен SL, поскольку A ↔ B и (A → B) & (B → A) логически эквивалентны в SL. Если бы мы ценили формальную простоту выше выразительного богатства, мы могли бы заменить больше связок условными обозначениями и по-прежнему иметь язык, эквивалентный SL.

    Существует ряд эквивалентных языков только с двумя связками. Достаточно иметь только отрицание и материальную условность. Покажите это, написав предложения, которые логически эквивалентны каждому из следующих, используя только круглые скобки, буквы предложения, отрицание (¬) и материальное условное выражение (→).

    У нас мог бы быть язык, эквивалентный SL, только с отрицанием и дизъюнкцией в качестве связок. Покажите это: используя только круглые скобки, буквы предложения, отрицание (¬) и дизъюнкцию (∨), напишите предложения, которые логически эквивалентны каждому из следующих.

    Штрих Шеффера является логической связкой со следующей характеристической таблицей истинности:

    7. Напишите предложение, используя связки SL, которое логически эквивалентно (A | B).

    Каждое предложение, написанное с использованием связки SL, можно переписать как логически эквивалентное предложение, используя один или несколько штрихов Шеффера. Используя только штрих Шеффера, напишите предложения, эквивалентные каждому из следующих.

    .