Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Построение таблиц истинности — Информатика в школе

Таблица истинности – это таблица, показывающая, какие значения принимает
составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него
простых высказываний

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает
соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями
формулы.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных
всего четыре: (0, 0),     (0, 1),     (1, 0),    
(1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений
переменных восемь: (0, 0, 0),     (0, 0, 1),     (0, 1, 0),
(0, 1, 1),     (1, 0, 0),     (1, 0, 1),
(1, 1, 0),     (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и
т.д.
Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица,
содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения
промежуточных формул.

Алгоритм построения таблицы истинности:

  1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
  2. определить число строк в таблице m = 2n;
  3. подсчитать количество логических операций в формуле;
  4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом
    скобок и приоритетов;
  5. определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число
    операций;
  6. выписать наборы входных переменных ;
  7. провести заполнение таблицы истинности по столбикам, выполняя логические
    операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью

Наборы входных переменных, рекомендуют перечислять следующим образом:

  • определить количество наборов входных переменных;
  • разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю
    часть колонки 0, а нижнюю —1;
  • разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить
    каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;
  • продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн д.
    частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут
    состоять из одного символа.

Приоритеты операций

  1. операции в скобках ()
  2. отрицание
  3. конъюнкция
  4. дизъюнкция
  5. импликация
  6. эквивалентность

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ   ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию
истинности или ложности простых. Эту функцию называют БУЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ СУЖДЕНИЙ
(F(A,B)).

Рассмотрим примеры построения таблиц истинности для сложных суждений.

1.     
¬¬А <=> А (закон
«отрицания отрицания»: Отрицание отрицания суждения тождественно самому суждению.

А

¬А

¬¬А

¬¬A<=>A

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

Если значение истинности булевой функции всегда истина, то эта функция
выражает ЗАКОН.

2. ((А => В) & ¬В) => ‾A (доказательство
«от противного»: Если А влечет В, но В не верно, то не верно и А.)

A

B

A=>B

¬B

(A=>B)&¬B

¬A

((A=>B)&¬B)=>¬A

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

И

И

И

И

И

И

Пример:

1.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн  Для формулы A /\ (B \/ ¬ B/\¬ C) построить таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в
таблице истинности должно быть 23 = 8. Количество логических операций в формуле
5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 =
8.

A

B

C

¬ B

¬ C

¬ B/\¬ C

B \/( ¬¬C) B/\

A/\ (B \/¬ B/\¬ C)

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

 2.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Составим таблицу истинности для формулы A /\ (B \/ ¬ B/\¬ C),
которая содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем
четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах —
значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В
результате получим таблицу:

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула

x

y

¬x

¬X * y

X + y

¬(X + y)

x * y + ¬(x+y)

x * y + ¬(x + y)
+ x

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула x * y + ¬(x + y) + x принимает
значение 1, то есть является тождественно истинной.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

3. Таблица истинности для формулы ¬(x + y) * (x * ¬y):

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула

x

y

x + y

¬(x + y)

¬y

x * ¬y

¬(x + y) * (x * ¬y)

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y формула ¬(x + y) * (x * ¬y) принимает
значение 0, то есть является тождественно ложной.

 4. Таблица истинности для формулы ¬(x + ¬y) + ¬x * z :

Переменные

Промежуточные логические формулы

Формула

x

y

z

¬y

x + ¬y

¬(x + ¬y)

¬x

¬x * z

¬(x + ¬y) + ¬x * z

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

 Из таблицы видно, что формула ¬(x + ¬y) + ¬x * z в некоторых случаях принимает значение 1, а в
некоторых — 0, то есть является выполнимой.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Задания:

Составьте и заполните сводную таблицу истинности для всех логических
функций в виде:

A

B

Ā

A & B

A V B

A => B

A <=> B

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Составьте таблицы истинности для следующих функций:

1.            
Ā => В

2.            
В & (А V В)

3.            
В & (Ā V В)

4.            
(Ā => В) V (А & В)

Таблица истинности онлайн с примерами

Таблица истинности — это таблица, которая описывает логическую функцию. Логическая функция здесь — это функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают истинность. Например, они принимают значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Количество всех существующих комбинаций в таблице находится по формуле N=2*n; где N — общее количество возможных комбинаций, n — число входных переменных. Таблицы истинности нередко используются в цифровой технике и булевой алгебре, чтобы описать работу логических схем.

Таблицы истинности для основных функций

Примеры: конъюнкция — 1&0=0, импликация — 1→0=0.

Порядок выполнения логических операций

Инверсия; Конъюнкция; Дизъюнкция; Импликация; Эквиваленция; Штрих Шеффера; Стрелка Пирса.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

Последовательность построения (составления) таблицы истинности:

https://uchim.org/matematika/tablica-istinnosti — uchim.org

  1. Определить количество N используемых переменных в логическом выражении.
  2. Вычислить количество всевозможных наборов значений переменных M = 2N , равное количеству строк в таблице.
  3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество логических операций.
  4. Озаглавить столбцы таблицы названиями переменных и названиями логических операций.
  5. Заполнить столбцы логических переменных наборами значений, например, от 0000 до 1111 с шагом 0001 в случае для четырех переменных.
  6. Заполнить таблицу истинности по столбцам со значениями промежуточных операций слева направо.
  7. Заполнить окончательный столбец значений для функции F.

Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно.

Составить таблицу истинности онлайн

Заполните поле ввода и нажмите OK. T — истина, F — ложь. Рекомендуем добавить страницу в закладки или сохранить в социальной сети.

Обозначения

  1. Множества или выражения большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D…
  2. A’ — штрих — дополнения множеств
  3. && — конъюнкция («и»)
  4. || — дизъюнкция («или»)
  5. ! — отрицание (например, !A)
  6. \cap — пересечение множеств \cap
  7. \cup — объединение множеств (сложение) \cup
  8. A&!B — разность множеств A∖B=A-B
  9. A=>B — импликация «Если …, то»
  10. AB — эквивалентность

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица истинности онлайн с примерами — логика

Создайте таблицу истинности в excel

Мне нужно составить формулу, которая даст вам таблицу истинности для переменного числа столбцов

Примеры

excel

excel-formula

truthtable

Поделиться

Источник


Jonathan Camilleri

16 декабря 2015 в 14:33

3 ответа


  • Как запустить эту таблицу истинности из функции

    Я понимаю таблицы истинности и делаю их хорошо, когда это Z = A + B + ABC’ и т.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн n числа строк, где n -это число столбцов, которое данный столбец находится вдали от крайнего правого столбца.

    Поделиться


    DavisDude

    01 марта 2019 в 19:05


    -1

    0 0 0 0  
    0 0 0 1   
    0 0 1 0   
    0 0 1 1   
    0 1 0 0    
    .....   
    

    помните, что числа-это только 0 или 1.

    для столбца D: D2=1-D1
    для столбца C: C2=IF(D1=1,1-D1,D1)
    для столбца B: B2=IF((C1=1)*(D1=1),1-B1, B1)

    …..

    После этого скопируйте числа без формул для вашей таблицы истинности, чтобы избежать вычисления Excel.

    Поделиться


    alvaro

    24 июня 2018 в 18:45


    • Создайте таблицу истинности, но оставьте некоторые переменные неопределенными в python

      вход: vv = [True, False, None, True, None] Есть ли способ сгенерировать таблицу истинности, заменяя неопределенное одно логическое значение за раз Так что выход будет [True, False, True, True, None] [True, False, False, True, None] [True, False, None, True, False] [True, False, None, True, True]

    • Сгенерируйте таблицу истинности произвольной длины haskell

      для задания я должен сгенерировать такую таблицу истинности: combinations :: Int -> [[Bool]] комбинации 3 должны выводить: [[False, False, False],[False, False, True],[False, True, False],[False, True, True][True, False, False][True, False, True],[True, True, False],[True, True, True]] Я могу…


    Похожие вопросы:

    python постройте динамическую растущую таблицу истинности

    Мой вопрос прост: как построить динамично растущую таблицу истинности в python элегантным способом? для n=3 for p in False, True: for q in False, True: for r in False, True: print ‘|{0} | {1} | {2}.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн ..

    создайте таблицу истинности в php (AND / OR)

    у меня есть массив, содержащий значение типа Array ( [0] = true [1] = OR [2] = true [3] = AND [4] = false [5] = AND [6] = true ) я хочу создать таблицу истинности в php, например true OR true =…

    Сгенерировать таблицу истинности для n операторов

    Мне было поручено написать функцию, которая генерирует таблицу с заданными N операторами. Таблица истинности должна быть в списке, и каждая строка таблицы должна быть в отдельных списках (внутри…

    Как запустить эту таблицу истинности из функции

    Я понимаю таблицы истинности и делаю их хорошо, когда это Z = A + B + ABC’ и т. д. Но как мне начать таблицу истинности, где я должен взять функцию Y = 2X + 3 и построить из нее таблицу истинности?…

    Сгенерировать таблицу истинности в MatLab

    Я хочу создать таблицу истинности в MatLab с I столбцами и i 2 строками. Например, если i=2, то T = [0 0] [1 0] [0 1] [1 1] Код для этого уже создан здесь Это часть более крупного проекта,который…

    Создайте таблицу истинности, но оставьте некоторые переменные неопределенными в python

    вход: vv = [True, False, None, True, None] Есть ли способ сгенерировать таблицу истинности, заменяя неопределенное одно логическое значение за раз Так что выход будет [True, False, True, True, None]…

    Сгенерируйте таблицу истинности произвольной длины haskell

    для задания я должен сгенерировать такую таблицу истинности: combinations :: Int -> [[Bool]] комбинации 3 должны выводить: [[False, False, False],[False, False, True],[False, True, False],[False,…

    Преобразование бинарной диаграммы принятия решений в таблицу истинности

    Учитывая бинарную диаграмму принятия решений, как я могу преобразовать ее в таблицу истинности? Каков точный алгоритм для этого ? Я уже давно пытаюсь это сделать. Вот пример, которому можно.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн ..

    Как построить таблицу истинности на основе пользовательского ввода

    Я начинающий программист C и пытаюсь создать программу, которая запрашивает у пользователя логическую функцию, а затем печатает таблицу истинности. Пользователь будет указывать ввод в виде…

    напечатать таблицу истинности для файла odt

    я хочу напечатать таблицу истинности в таблицу в файле adt, у меня есть программа, но я не знаю, как получить значение или значение для печати в файл odt, эта программа просто печатает результат на…

    Виды формул по истинности — Логика

    Поможем написать любую работу на аналогичную
    тему

    Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему
    учебному проекту

    Узнать стоимость

    Сегодня мы научимся записывать логическую формулу по таблице истинности.

    Правило 1. По каждому набору двоичных переменных, на которых функция принимает значение единицы записать элементарную конъюнкцию n ранга (логическое произведение всех двоичных переменных, при этом инвертируются те переменные, которые имеют значение нуля) и полученные конъюнкции объединить знаком дизъюнкции. Такая форма функции называется ДНФ
    (совершенная дизъюнктивно — нормальная форма).

    Правило 2. По каждому набору двоичных переменных, на которых функция принимает значение нуля записать элементарную дизъюнкцию всех n переменных (логическая сумма всех двоичных переменных, при этом инвертируются те переменные, которые имеют значение единицы) и полученные дизъюнкции объединить знаком конъюнкции. Такая форма функции называется КНФ
    (совершенная конъюнктивно — нормальная форма).

    ДНФ (правило 1)


    Таблица истинности

    КНФ (правило 2)


    A

    B

    F(A, B)

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    Слева и справа от таблицы истинности — две формы одной и той же логической функции.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Она была задана своей таблицей истинности, в которой перечислены все возможные значения логических переменных и те значения, которые принимает функция на каждом из них.

    Рассмотрим более сложный пример. Во — первых, рассматриваемая функция имеет три аргумента (логических переменных) F(A, B, C), во — вторых, условие задачи задано не просто таблицей истинности, а сформулировано следующим образом: «Заданная функция трех переменных принимает значение единицы на наборах 2, 3, 6».

    Что это означает? Если функция имеет три аргумента, то возможных значений будет 8! Нарисуем сами таблицу истинности по заданному условию. В ней будет 9 строк, 8 — для значений аргументов и одна строка для заголовков. Заполняем первый столбец — четыре 0, четыре 1. Второй столбец — два нуля, две единицы, опять два нуля и две единицы. Третий столбец — 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Если внимательно посмотреть, то увидим в нашей таблице двоичное представление цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А теперь заполняем четвертый столбец, ведь по условию функция принимает значение единицы там, где записаны цифры 2, 3 и 6. А это комбинация 0 1 0 (2), 0 1 1 (3) и 1 1 0 (6). поэтому ставим единицы в соответствующих строках, а в остальных запишем нули.

    A

    B

    C

    F(A, B, C)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    Часто условие бывает задано уже нарисованной таблицей истинности.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Тогда сразу по ней можно записать либо ДНФ логической функции, либо КНФ. Так как в нашем случае в значениях функции меньше единиц, то запишем дизъюнктивную форму логической функции по правилу 1.

    и согласно законам алгебры логики произведем преобразования:

    Подсказка: сумма переменной С и ее отрицания равна 1, далее в выражении используем второй дистрибутивный закон, затем в одной из скобок имеем опять сумму переменной А и ее отрицания, что дает 1.

    Построим таблицу истинности полученного логического выражения для того, чтобы убедиться в правильности проведенных преобразований.

    Видим, что последний столбец таблицы совпадает с последним столбцом исходной таблицы истинности. Тем самым мы доказали правильность проведенных преобразований!

    A

    B

    C

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Таблицы истинности применяются для:
    — вычисления истинности сложных высказываний;
    — установления эквивалентности высказываний;
    — определения тавтологий.

    1. Установление истинности сложных высказываний.

    Пример 1. Установить истинность высказывания · С
    Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
    При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

    А

    В

    С

    А+

    · С

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Во всех остальных случаях оно ложно.

    2. Эквивалентность высказываний.

    С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

    Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

    Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
    Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    А

    В

    С

    В С

    А+В· С

    А+В

    А+С

    (А+В)· (А+С)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
    Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
    Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
    Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
    Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

    3. Тавтология.

    Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
    Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

    А

    А·

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    Рассмотрим высказывание В+.
    В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

    В

    В+

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
    Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
    В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное — 0.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Закон исключенного третьего.
    A· º 0
    В+º 1

    Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
    Решение.

    X

    Y

    XÙ Y

    XÚ Y

    (XÙ Y)® (XÚ Y)

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

    Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
    Решение.
    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

    X

    Y

    Z

    X® Y

    Y® Z

    X® Z

    F1Ù F2

    (F1Ù F2) ® F3

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Из таблицы видно, что исследуемое высказывание — тавтология, т.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн к. оно истинно постоянно.

    Логические выражения

     Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут логические переменные,  обозначающие  высказывания,  и  знаки логических операций,  обозначающие логические функции. Для записи составных высказываний в виде логических выражений на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними. Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально,  руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

    Приоритет логических операций: 1) инверсия, 2) конъюнкция, 3) дизъюнкция.

    Например, А= «2х2=5» =0

                       В= «2х2=4» =1

                       F=(AvB)&( ¬Av¬B)=(0v1)&(1v0)=1&1=1

     ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых  высказываний (логических переменных).
     При этом целесообразно руководствоваться

    1. определить  количество  строк в ТИ,  которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение: кол-во строк = 2n,
      где n — количество  логических переменных. В нашем случае кол-во строк = 22 = 4;
    2. определить количество столбцов в ТИ, равное количеству логических переменных плюс количество логических операций. Кол-во столбцов = 2 + 5 = 7;
    3. построить ТИ с указанным количеством строк и столбцов,  обозначить столбцы и  внести  возможные  наборы значений исходных логических переменных
                                        A  B  AvB  ¬A  ¬B  ¬Av¬B  (AvB)&( ¬Av¬B)
                                        0   0     0       1       1        1                 0            
                                        0   1     1       1       0        1                 1         
                                        1   0     1       0       1        1                 1               
                                        1   1     1       0       0        0                 0

    4.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн       заполнить  ТИ  по столбцам,  выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их ТИ.  Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора  значений логических переменных.

     РАВНОСИЛЬНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. Логические выражения, у которых ТИ совпадают, называются равносильными (эквивалентными). Обозначение — знак «=».

    Например, доказать, что ¬A&¬B=¬(AvB).

    A  B   ¬A   ¬B   ¬A& ¬B

    0   0      1     1        1

    0   1      1     0        0

    1   0      0     1        0

    1   1      0     0        0

    A  B  AvB   ¬(AvB)

    0   0    0           1

    0   1    1           0

    1   0    1           0

    1   1    1           0

    Таблицы истинности  совпадают, следовательно, логические выражения равносиьны: ¬A&¬B=¬(AvB)

    Импликация и эквиваленция
    В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не», используются и некоторые другие: «если… то…», «тогда… и только тогда, когда…» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ и им соответствуют определенные логические функции.

    Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то..,».

    Логическая операция импликации «если А то В», обозначается А ® B и выражается с помощью логической функции F14. которая задается соответствующей таблицей истинности.

    Таблица истинности логической функции импликация

    A

    B

     А  ®B

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, т.к. истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

    Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на З» ложно, т.к. из истинной предпосылки делается ложный вывод.
    Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно.

    Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.

    В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложения и логическому отрицанию.

    Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А ® B равносильна логическому выражению  ¬AvB.

    Таблица истинности логического выражения ¬AvB

    A

    B

    ¬A

    ¬AvB

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    Таблицы истинности совпадают, что и требовалось доказать.
    Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн .. тогда и только тогда, когда…».

    Логическая операция эквивалентности «А эквивалентно В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции , которая задается соответствующей таблицей истинности.

    Таблица истинности логической функции эквивалентности

    А

    В

     А~В

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

    Рассмотрим, например, два высказывания А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    Внимание!

    Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к
    профессионалам.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные
    корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    «Основы логики» — 9 класс

    Логические выражения. Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

    Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

    Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2 • 2 = 5 или 2 • 2 = 4) и (2 • 2= 5 или 2 • 2=4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

    А = «2 • 2 = 5» — ложно (0), В = «2 • 2 = 4» — истинно (1).

    Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:

    «(А или В) и (А или В)».

    Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических опе­раций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

    F = (А v В) & (А v В).

    Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

    Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

    F = (А v В)&(А v В) = (О v 1)&(1 v 0) = 1 & 1 = 1.

    Таблицы истинности.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).

    При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.

    Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в ло­гическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:
    количество строк = 2n.

    В нашем случае логическая функция F — (АvВ)&(АvВ) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

    Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

    В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

    В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

    В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности (табл. 3.4). Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

    Таблица 3.4. Таблица истинности логической функции






    ABАvВ!(AvВ)(АvВ)&(АvВ)
    0001110
    0111011
    1000111
    1110000

    Равносильные логические выражения.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

    Докажем, что логические выражения !(А & В) и !(АvВ) равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения А & В (табл. 3.5).

    Таблица 3.5. Таблица истинности логического выражения А & В






    AB!A!B!(А&В)
    00111
    01100
    10010
    11000

    Теперь построим таблицу истинности логического выражения АvВ (табл. 3.6).

    Таблица 3.6. Таблица истинности логического выражения АvВ






    ABАVВ!(АvВ)
    0001
    0110
    1010
    1110

    Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

    !(А&В) = !(АvВ).

    Логическое следование (импликация). Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн .., то…».

    Логическая операция импликации «если А, то В», обозначается А -> В и выражается с помощью логической функции F14, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.8).

    Таблица 3.8. Таблица истинности логической функции «импликация»






    ABF14 = A->В
    001
    011
    100
    111

    Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки(первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

    Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

    Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

    Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следо­вать что угодно.

    В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и ло­гическому отрицанию.

    Докажем методом сравнения таблиц истинности (табл. 3.8 и 3.9), что операция импликации А -> В равносильна логическому выражению А vВ.

    Таблица 3.9. Таблица истинности логического выражения АvВ






    AB!A!Аv В
    0011
    0111
    1000
    1101

    Таблицы истинности совпадают, что и требовалось доказать.Для формулы построить таблицу истинности: Построение таблицы истинности онлайн | СКНФ | СДНФ | Полином Жегалкина | Таблица истинности булевой функции онлайн

    Логическое равенство (эквивалентность). Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

    Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции .F10, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.10).

    Таблица 3.10. Таблица истинности логической функции эквивалентности






    ABF10
    001
    010
    100
    111

    Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

    Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

    «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

    «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

    Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

    Содержание:

    На данной странице будут рассмотренны 5 логических операций:
    конъюнкция,
    дизъюнкция,
    инверсия,
    импликация и
    эквивалентность,
    которых Вам будет достаточно для решения сложных логических выражений. Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных
    логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой логической операции. Советуем Вам
    воспользоваться нашими программами для решения задач по математике,
    геометрии и
    теории вероятности.
    Помоми большого количества программ для решения задач на сайте работает
    форум, на котором Вы всегда можете
    задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!

    Глоссарий, определения логики

    Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать
    истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

    Логические операции — мыслительные действия, результатом которых является изменение
    содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

    Логическое выражение — устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами,
    обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать
    одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

    Сложное логическое выражение — логическое выражение, состоящее из одного или
    нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

    Логические операции и таблицы истинности

    1) Логическое умножение или конъюнкция:

    Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда
    оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
    Обозначение: F = A & B.

    Таблица истинности для конъюнкции

    ABF
    111
    100
    010
    000

    2) Логическое сложение или дизъюнкция:

    Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из
    простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
    Обозначение: F = A + B.

    Таблица истинности для дизъюнкции

    ABF
    111
    101
    011
    000

    3) Логическое отрицание или инверсия:

    Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат
    отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова,
    данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

    Таблица истинности для инверсии

    4) Логическое следование или импликация:

    Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины
    следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А),
    а второе (В) является следствием.

    Таблица истинности для импликации

    ABF
    111
    100
    011
    001

    5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

    Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда
    и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

    Таблица истинности для эквивалентности

    ABF
    111
    100
    010
    001

    Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

    1. Инверсия;
    2. Конъюнкция;
    3. Дизъюнкция;
    4. Импликация;
    5. Эквивалентность.

    Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

    Слишком сложно?

    Основы логики. Логические операции и таблицы истинности не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    таблиц истинности, тавтологий и логических эквивалентностей

    таблиц истинности, тавтологий и логических эквивалентностей

    Математики обычно используют двузначный
    логика: каждое утверждение истинно или
    Ложь. Это называется
    Закон исключенного среднего.

    Утверждение в логике предложений строится из простых утверждений с использованием
    логические связки,,, и. Правда или ложь
    утверждения, построенного с помощью этих связок, зависит от истины или
    ложность его составляющих.

    Например, составной оператор строится с использованием логических связок, и. Правда или
    ложь зависит от правды
    или ложность P, Q и R.

    Таблица истинности показывает, как правда или ложь
    составного утверждения зависит от истинности или ложности простого
    утверждения, из которых он построен. Итак, мы начнем с рассмотрения
    таблицы истинности для пяти логических связок.

    Вот таблица для отрицания:

    Эта таблица проста для понимания.Если P истинно, его отрицание
    ложно. Если P ложно, то верно.

    должно быть истинным, когда и P, и Q равны
    истина, иначе ложь:

    верно, если либо P истинно, либо Q равно
    истина (или оба — помните, что мы используем «или»
    в инклюзивном смысле). Это неверно, только если P и Q
    ложный.

    Вот таблица для логического вывода:

    Чтобы понять, почему эта таблица такая, как она есть, рассмотрим следующие
    пример:

    «Если вы получите пятерку, я дам вам доллар.»

    Утверждение будет правдой, если я сдержу свое обещание и
    ложь, если я этого не сделаю.

    Предположим, это правда, что вы получили пятерку, и это правда
    что я даю вам доллар. Поскольку я сдержал свое обещание, подразумевается
    правда. Это соответствует первой строке в таблице.

    Предположим, это правда, что вы получили пятерку, но это ложь.
    что я даю вам доллар. Поскольку я не сдержал своего обещания,
    подразумевается ложно. Это соответствует второму
    строка в таблице.

    Что, если вы получите пятерку неверно? Независимо от того, даю ли я вам
    доллар, я не нарушил свое обещание. Таким образом, подтекст не может быть
    false, поэтому (поскольку это двузначная логика) оно должно быть истинным. Этот
    объясняет последние две строки таблицы.

    означает, что P и Q являются
    эквивалент. Таким образом, двойная импликация верна, если P и
    Q оба истинны или если P и Q оба ложны;
    в противном случае двойная импликация ложна.

    Вы должны помнить — или уметь составлять — таблицы истинности
    для логических связок.Вы будете использовать эти таблицы для построения
    таблицы для более сложных предложений. Проще продемонстрировать
    что делать, чем описывать словами, чтобы вы увидели порядок действий
    отработано в примерах.

    Замечание. (а) Когда вы конструируете истину
    таблице, вы должны рассмотреть все возможные присвоения True (T) и
    Ложь (F) для операторов компонентов. Например, предположим, что
    операторы компонентов — это P, Q и R. Каждый из этих операторов может быть
    либо правда, либо ложь, значит, есть возможности.

    Когда вы перечисляете возможности, вы должны присваивать значения истинности
    к операторам компонентов систематическим образом, чтобы избежать дублирования
    или упущение. Самый простой подход — использовать
    лексикографическая упорядоченность. Таким образом, для составного оператора с
    три компонента P, Q и R, я бы перечислил возможности этого
    путь:

    (б) Существуют разные способы составления таблиц истинности. Вы можете для
    например, запишите значения истинности «под» логическим
    связки составного высказывания, постепенно наращивая
    столбец для «первичной» связки.

    Я напишу подробности, построив столбцы для каждого
    «кусок» составного высказывания и постепенно наращивая
    к составному утверждению. Любой стиль хорош, пока ты показываешь
    достаточно работы, чтобы оправдать ваши результаты.

    Пример. Постройте таблицу истинности для
    формула.

    Сначала я перечисляю все альтернативы P и Q.

    Затем в третьем столбце я перечисляю значения на основе значений P. Я использую таблицу истинности для
    отрицание: когда P истинно ложно, а когда P ложно,
    правда.

    В четвертом столбце я перечисляю значения для. Убедитесь сами, что это только ложь
    («F»), если P истинно («T») и Q ложно
    («F»).

    Пятый столбец дает значения для моего составного выражения. Это «и»
    (третий столбец) и (четвертый
    столбец). «И» верно, только если обе части
    «и» верны; в противном случае это ложь. Итак, я смотрю на
    третья и четвертая колонки; если оба верны («T»), я ставлю T
    в пятом столбце, иначе я поставил F.


    Тавтология — это формула, которая «всегда
    истина «— то есть верно для каждого присвоения истины
    ценности к его простым компонентам. Вы можете думать о тавтологии как о
    правило логики.

    Противоположностью тавтологии является
    противоречие, формула, которая «всегда ложна». В
    другими словами, противоречие ложно для каждого приписывания истины
    ценности к его простым компонентам.


    Пример. Показать, что это тавтология.

    Я составляю таблицу истинности и показываю, что формула всегда верна.

    Последний столбец содержит только буквы T. Следовательно, формула представляет собой
    тавтология.


    Пример. Постройте таблицу истинности для.


    Вы можете видеть, что построение таблиц истинности для утверждений с большим количеством
    связок или множества простых утверждений довольно утомительно и
    подвержен ошибкам. Хотя могут быть некоторые применения этого (например,грамм. к
    цифровых схем), в какой-то момент лучше всего было бы написать
    программа для построения таблиц истинности (и это, безусловно, было сделано).

    Дело здесь в том, чтобы понять, как истинное значение сложного
    утверждение зависит от истинности его простых утверждений и
    его логические связки. В большинстве работ математики обычно не
    используйте операторы, которые очень сложны с логической точки зрения
    Посмотреть.

    Пример. (a) Предположим, что P ложно и истинно.Скажите, является ли Q истинным, ложным или его истинным
    значение не может быть определено.

    (b) Предположим, что это неверно. Рассказывать
    истинно ли Q, ложно или его истинностное значение не может быть определено.

    (a) Поскольку истинно, либо P истинно, либо истинно. Поскольку P ложно, должно быть верно. Следовательно, Q должно быть ложным.

    (b) Утверждение «если-то» неверно, когда часть «если»
    истина, а часть «тогда» — ложь. Поскольку ложно, верно. Утверждение «и» верно только
    когда обе части верны.В частности, должно быть истинным, поэтому Q ложно.


    Пример. Предполагать

    » » правда.

    «» ложно.

    «У Кэлвина Баттерболла фиолетовые носки» — правда.

    Определите истинность утверждения

    Для простоты пусть

    P = «».

    Q = «».

    R = «У Кэлвина Баттерболла фиолетовые носки».

    Я хочу определить истинное значение.Поскольку мне были даны конкретные значения истинности для P, Q,
    и R, я установил таблицу истинности с единственной строкой, используя данный
    значения для P, Q и R:

    Следовательно, утверждение верно.


    Пример. Определите истинное значение
    утверждение

    Утверждение «» ложно. Ты не можешь сказать
    есть ли в заявлении «Икабод Ксеркс шоколад»
    кексы «верно или неверно, но это не имеет значения. Если
    «если» часть утверждения «если-то» ложна,
    тогда утверждение «если-то» верно.(Проверить правду
    таблица, если вы не уверены в этом!)
    данное утверждение должно быть верным.


    Два оператора X и Y логически
    эквивалент, если это тавтология. Другой способ сказать
    это: Для каждого присвоения значений истинности простому
    операторов, которые составляют X и Y, операторы X и Y имеют
    идентичные значения истинности.

    С практической точки зрения вы можете заменить выражение в
    доказательство любым логически эквивалентным утверждением.

    Чтобы проверить, являются ли X и Y логически эквивалентными, вы можете настроить
    таблица истинности, чтобы проверить, является ли тавтология — это
    есть ли «все ли Т в его столбце».
    Однако проще создать таблицу, содержащую X и Y, а затем
    проверьте, совпадают ли столбцы для X и для Y.


    Пример. Покажите, что и логически эквивалентны.

    Поскольку столбцы для и идентичны, два оператора логически
    эквивалент.Эта тавтология называется условной.
    Дизъюнкция. Вы можете использовать эту эквивалентность для замены
    условно дизъюнкцией.


    Существует бесконечное количество тавтологий и логических эквивалентностей;
    Я перечислил несколько ниже; более обширный список приведен в конце
    эта секция.

    Когда тавтология имеет форму двоякого условия, два утверждения
    которые составляют двусмысленные, логически эквивалентны. Следовательно, вы
    может заменить одну сторону на другую без изменения логического
    смысл.


    Вам часто нужно будет отрицать математическое утверждение. К
    посмотрим, как это сделать, мы начнем с того, что покажем, как отрицать символическое
    заявления.

    Пример. Запишите отрицание
    следующие утверждения, упрощающие так, чтобы только простые утверждения
    отрицается.

    (а)

    (б)

    (а) Я отвергаю данное утверждение, а затем упрощаю, используя логические
    эквивалентности. Я привел названия логических эквивалентов на
    правильно, чтобы вы могли видеть, какие из них я использовал.

    (б)

    Я показал это и
    логически эквивалентен в предыдущем примере.


    В следующих примерах мы будем отрицать утверждения, написанные словами.
    Это более типично для того, что вам нужно делать по математике. В
    идея состоит в том, чтобы преобразовать слово-утверждение в символическое утверждение, тогда
    используйте логические эквивалентности, как в предыдущем примере.

    Пример. Используйте закон ДеМоргана, чтобы написать
    отрицание следующего утверждения, упрощая так, чтобы
    отрицаются только простые утверждения:

    «Кальвина нет дома, или Бонзо в кино.»

    Пусть C будет утверждением «Кальвин дома» и пусть B будет
    заявление «Бонзо в движении». Данное заявление
    . Я должен опровергнуть это утверждение,
    затем упростите:

    Результат: «Кальвин дома, а Бонзо нет в доме».
    фильмы ».


    Пример. Используйте закон ДеМоргана, чтобы написать
    отрицание следующего утверждения, упрощая так, чтобы
    отрицаются только простые утверждения:

    «Если Фиби покупает пиццу, то Кэлвин покупает попкорн.»

    Пусть P будет утверждением «Фиби покупает пиццу» и пусть C будет
    заявление «Кэлвин покупает попкорн». Данное заявление
    . Чтобы упростить отрицание, я буду использовать тавтологию условного дизъюнкции, которая гласит

    То есть я могу заменить на (или наоборот).

    Итак, вот отрицание и упрощение:

    Результат: «Фиби покупает пиццу, а Кэлвин не покупает.
    попкорн ».


    Далее мы применим нашу работу с таблицами истинности и отрицательными утверждениями к
    задачи, связанные с построением обратного, обратного и
    противоположность утверждению «если-то».

    Пример. Замените следующий оператор на
    его противоположность:

    «Если x и y рациональны, то рационально».

    В силу контрапозитивной эквивалентности это утверждение совпадает с утверждением
    «Если нерационально, значит, это не так.
    что и x, и y рациональны «.

    Этот ответ верен в его нынешнем виде, но мы можем выразить его в
    немного лучший способ, который удаляет некоторые явные отрицания.
    Большинству людей легче понять положительное утверждение, чем
    отрицательное заявление.

    По определению действительное число иррационально, если
    это не рационально. Так что я мог бы заменить часть «если» в
    противоположно выражению «иррационально».

    «Тогда» часть контрапозитива — это отрицание
    «и» заявление. Вы могли бы повторить это так: «Это не
    случай, когда и x рационально, и y рационально «. (Слово
    «оба» гарантирует, что отрицание применимо ко всему
    «И», а не только «х рационально».)

    По закону ДеМоргана это эквивалентно: «x нерационально или
    y не рационально «.В качестве альтернативы я мог бы сказать: «x — это
    иррационально или y иррационально ».

    Объединив все вместе, я мог бы выразить контрапозитив так:
    «Если иррационально, то либо x иррационально
    или y иррационально «.

    (Как обычно, я добавил слово «либо», чтобы было ясно, что
    часть «затем» — это целое выражение «или».)


    Пример. Покажите, что обратное и обратное
    обратное условному выражению логически эквивалентны.

    Позвольте быть условным.Обратное. Обратное.

    Я мог бы показать, что обратное и обратное эквивалентны
    построение таблицы истинности для. Вместо этого я воспользуюсь некоторыми известными тавтологиями.

    Начнем с:

    Помните, что я могу заменить выражение логическим
    эквивалент. Например, на последнем шаге я заменил Q, потому что два оператора эквивалентны
    Двойное отрицание.


    Пример. Предположим, что x — действительное число.Рассматривать
    заявление

    «Если, то.»

    Постройте обратное, обратное и противоположное.
    Определите истинность или ложность четырех утверждений —
    исходное утверждение, обратное, обратное и противоположное
    — используя свои знания алгебры.

    Обратное — «Если, то».

    Обратное — «Если, то».

    Контрапозитив — «Если, то».

    Исходное утверждение неверно:, но.Поскольку исходное утверждение эквивалентно
    контрапозитивный, контрапозитивный тоже должен быть ложным.

    Верно и обратное. Обратное логически эквивалентно
    обратное, значит, верно и обратное.


    \новая страница

    \ centerline {\ bigssbold Список тавтологий}


    Контактная информация

    Домашняя страница Брюса Икенаги

    Авторские права 2019 Брюс Икенага

    как составить таблицу истинности из логического выражения

    A, B, C и D являются логическими переменными, что означает, что каждая принимает значение
    «правда или ложь».Более сложные выражения имеют значение «истина» или «ложь».
    в зависимости от значений этих переменных, так, например, A’BD ‘истинно, если
    A ложно, B истинно, D ложно, а C либо истинно, либо ложно.

    Сказать, что F = G, где F и G — сложные выражения, означает, что нет
    независимо от того, какие значения имеют логические переменные, значение F одинаково
    как значение G (то есть F и G либо оба истинны, либо оба ложны).
    Так, например, у нас

      AB + AC = A (B + C)
      

    , потому что если A истинно и либо B, либо C истинно, то обе стороны истинны,
    и в любом другом случае обе стороны ложны — нет возможности назначить
    значения A, B, C, так что две стороны выходят по-разному.

    Как уже упоминалось на предыдущих плакатах, вы всегда можете доказать (или опровергнуть!)
    равенство, пройдя через все возможные присвоения «истина» и «ложь» для
    переменные. Похоже, что цель состоит в том, чтобы доказать «по теоремам», т. Е. Используя
    операции ранее доказали свою истинность. Как вы говорите, мы можем либо манипулировать
    одну сторону уравнения, пока она не примет форму другой стороны, или мы
    мог манипулировать обеими сторонами и привести их в общую форму.

    В этом случае первое, что следует заметить, это то, что правая часть (RHS)
    является копией LHS с некоторыми дополнительными деталями, прикрепленными к концу.Для этого
    причина, по которой проще всего манипулировать только RHS, чтобы избавиться от
    избыток! Мы можем начать с этой основной теоремы:

      если Q истинно, когда P истинно, то Q = Q + P
      

    Мы можем доказать эту теорему, систематически рассматривая все возможности
    для P и Q. Или посмотрите на это так: если Q истинно, то обе стороны
    уравнение верны. И если Q ложно, то P должно быть ложным (поскольку, по
    предположение, если бы P было истинным, Q было бы истинным), следовательно, обе стороны ложны.

    С учетом этой теоремы мы доказываем:

      XY + X'Z = XY + X'Z + YZ
      

    Доказательство: Пусть P равно YZ, а Q равно XY + X’Z. Предположим, что P истинно, то есть Y и
    Z оба верны. Но если Y и Z истинны, то XY + X’Z должно быть истинным.
    (Причина: если X истинно, то, поскольку Y истинно, XY истинно. И если X истинно
    тогда ложь, поскольку Z истинно, X’Z истинно. Так что в любом случае XY + X’Z равно
    истина.) Итак, мы показали, что Q истинно всякий раз, когда P истинно, следовательно,
    предыдущая теорема Q = Q + P, которую в данном случае мы и хотели доказать.

    Теперь мы можем доказать

      A'D '+ AC' = A'D '+ AC' + C'D '
      

    Это то же самое, что и предыдущая теорема, полагая A вместо X, D ‘вместо Y,
    и C ‘для Z.

    Из последней теоремы следует

      B (A'D '+ AC') = B (A'D '+ AC' + C'D ')
      

    , что совпадает с

      A'BD '+ ABC' = A'BD '+ ABC' + BC'D '
      

    Учитывая это, мы можем взять правую часть оригинала и заменить A’BD ‘+ ABC’
    для A’BD ‘+ ABC’ + BC’D ‘, то есть мы можем опустить термин BC’D’.

    С помощью шагов, аналогичных описанным выше, мы можем доказать эти две теоремы:

      A'BD '+ BCD = A'BD' + BCD + A'BC
     BCD + ABC '= BCD + ABC' + ABD
      

    , что позволяет нам отбросить последние два термина правой части оригинала,
    завершая доказательство.

    Как построить таблицу истинности за девять простых шагов

    Как построить таблицу истинности за девять простых шагов

    Философия 4: логика и критика
    Мышление

    Сьерра-колледж,

    Осень 2004

    Инструктор: Аль Чинелли

    Шаг 1.Выясните, сколько человек
    переменные утверждения находятся в аргументе или составном утверждении, которое вы будете анализировать, т.е.
    сколько отдельных букв, представляющих претензии.

    Пример 1.
    Вот аргумент: A -> (B v C)

    ~ В

    ~ С
    / ~ А

    Аргумент содержит три
    переменные индивидуальных требований: A, B, C.

    Шаг 2. Каждая переменная утверждения имеет две истины.
    значения: True
    или Ложь.

    Вот полезная формула
    чтобы узнать, сколько строк вам понадобится для таблицы истинности:

    Возьмите общее количество независимых
    требовать переменные, которые вам нужно построить, и сделать их степень равной 2. Значение
    для этого показателя — количество необходимых строк.

    Один
    переменная претензии: P = две строки, 2 1 .

    Два
    переменные: P, Q = четыре строки, 2 2 .

    Три
    переменные: P, Q, R = восемь строк, 2 3 .

    Четыре
    переменные: P, Q, R, S = шестнадцать строк, 2 4 и так далее.

    Пример 2. Аргумент в примере
    1 имеет три переменные индивидуальных требований.

    Следовательно
    его таблица истинности будет иметь восемь строк.

    Шаг 3. Сделайте столбец для каждого отдельного
    претензия и составная претензия в утверждении или аргументе, который вы анализируете.

    Сделайте отдельные столбцы для:
    i) отдельные претензии, представленные буквами переменных претензии, ii)
    в скобках (претензии в претензии), iii) все помещения и iv)
    завершение аргумента.

    Пример 3. Аргумент в примере
    один имеет восемь отдельных утверждений: A, B, C, (B v C), A -> (B v C), ~ B, ~ C и
    ~ А.

    Шаг 4. Ваша таблица истинности должна содержать
    полные возможности истины для всех утверждений. Для этого вам нужно перечислить
    возможности истинности для каждой переменной утверждения.

    Возьмите первую переменную утверждения, назначьте
    это значение T для верхней половины строк и F для нижней половины.

    Затем возьмите вторую переменную заявки
    и присвойте ему значение T для первой и третьей четвертей строк.

    Для третьей переменной требования присвойте
    Значения T и F для чередования восьмых строк и чередования шестнадцатых.
    для четвертой переменной, чередуя тридцать секунд и шестьдесят четвертых для
    пятая и шестая переменные индивидуальных претензий.

    Продолжайте присваивать значения истинности поочередно
    на соответствующие показатели степени двойки для каждой дополнительной переменной индивидуальной претензии.

    Пример 4.Назначение истинных значений для отдельных переменных утверждения для аргумента в
    пример 1.

    А

    В

    С

    B v C

    А -> (B v C)

    ~ В

    ~

    ~

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Шаг 5.Назначьте соответствующие значения истинности
    к составным утверждениям, основанным на: а) истинных значениях индивидуального утверждения
    переменные и б) логическая взаимосвязь между более простыми утверждениями в
    компонент претензии. Работайте от самых простых сложных претензий до самых сложных.

    Пример 5. Присвоение истинных значений
    для всех переменных в заявках для аргумента в примере 1.

    А

    В

    С

    B v C

    А -> (B v C)

    ~ В

    ~

    ~

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Шаг 6.Если вы строите одно соединение
    утверждение в таблице истинности, сравните его с другими утверждениями, которые вы построили. Если
    значения истинности утверждения эквивалентны для тех же присвоений истинности
    Если индивидуальные переменные формулы изобретения, то две составные формулы эквивалентны.

    Шаг 7. Чтобы определить срок действия
    аргумент, установите возможные значения истинности для всех аргументов, отдельных
    переменные претензии, составные претензии, предпосылки и заключение. Зачеркнуть все строки
    в котором вывод верен.Затем вычеркните все строки, в которых есть или
    все предпосылки ложны. Если строк не осталось, то аргумент
    действует. Если есть одна или несколько строк, которые содержат все назначенные помещения
    значение T, в то время как вывод ложный, аргумент недопустим.

    Пример 7а. Удалите строки, в которых
    вывод верный.

    А

    В

    С

    B v C

    P1: А -> (B v C)

    P2: ~ B

    P3: ~ C

    Конц.: ~ A

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Пример 7б.Удалите ряды, в которых одно или все помещения
    ложны.

    P1: А -> (B v C)

    P2: ~ B

    P3: ~ C

    Концентрация: ~ A

    Х

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Х

    т

    Ф

    т

    Ф

    Х

    т

    т

    Ф

    Ф

    Х

    Ф

    т

    т

    Ф

    Все остальные строки
    содержат хотя бы одну ложную предпосылку, следовательно, аргумент действителен.

    Шаг 8. Для определения действительности с помощью
    версия таблиц истинности «короткая таблица», построение всех столбцов обычной истины
    таблицу, затем создайте одну или две строки, в которых вы назначаете вывод истины
    стоимость F и присвоить всем помещениям стоимость T.

    Пример 8. Два
    строки с ложным выводом.

    А

    В

    С

    B v C

    P1: А -> (B v C)

    P2: ~ B

    P3: ~ C

    Конц.: ~ A

    т

    т

    т

    Ф

    Шаг 9.Работайте в обратном направлении от заключения и посылки.

    Можете ли вы присвоить истинные значения
    составные претензии и переменные отдельных претензий, которые соответствуют
    значения истинности, присвоенные предпосылкам и заключению?

    Если можете, продемонстрируйте, что
    аргумент недействителен. Если вы не можете, это означает, что аргумент действителен.

    Работа методом проб и ошибок
    может понадобиться здесь.

    Пример 9.Если вы знаете, что ~ A — это
    ложь, что еще можно вывести? Присвойте помещениям истинное значение T. Воля
    эта работа?

    А

    В

    С

    B v C

    P1: А -> (B v C)

    P2: ~ B

    P3: ~ C

    Конц.: ~ A

    т

    Ф

    Ф

    хххх

    т

    т

    т

    Ф

    (B v C) должно быть правдой
    для P: 1, чтобы быть правдой.(B v C) не может быть истинным, если B и C оба ложны.

    Генератор таблиц истинности

    — онлайн-калькулятор булевой алгебры для таблиц

    Поиск инструмента

    Таблица истинности

    Инструмент для создания логических таблиц истинности. В булевой алгебре или электронике логические таблицы истинности позволяют определять функцию / вентиль / элемент / компонент в соответствии с его входами и выходами.

    Результаты

    Таблица истинности — dCode

    Тег (ы): Символьные вычисления, Электроника

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Напишите в dCode!

    Инструмент для создания логических таблиц истинности.В булевой алгебре или электронике логические таблицы истинности позволяют определять функцию / вентиль / элемент / компонент в соответствии с его входами и выходами.

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Что такое таблица истинности?

    Таблица истинности — это таблица, представляющая выходные логические значения логического выражения на основе их записей. Таким образом, в таблице представлены все возможные комбинации входных логических переменных (обычно 0 / ЛОЖЬ и 1 / ИСТИНА) и результат уравнения в качестве выходных данных.

    Пример: Таблица функции логического НЕ:

    Каждая электронная схема связана с таблицей истинности , которая ее описывает.

    Как работает калькулятор таблицы истинности?

    dCode Таблица истинности Генератор интерпретирует логическое выражение и вычисляет, используя булеву алгебру, все возможные комбинации 0 и 1 для каждой переменной (среди запрошенных логических переменных), чтобы преобразовать логическое выражение и создать таблицу истинности .

    dCode также позволяет найти функцию / выражение логической логики из таблицы истинности .

    Как найти уравнение из таблицы истинности?

    Есть 2 метода найти логическое уравнение из таблицы истинности , либо начав со значений 0 (вычисление Maxterms), либо начав со значений 1 (вычисление Minterms).

    Пример: Таблица истинности :

    Вот различные вычисления (которые дают тот же результат)

    Расчет на основе значений 1 таблицы истинности (Minterms): для каждой 1 запишите в строке значения соответствующих записей, разделенных логическим И, затем сгруппируйте эти строки с помощью логического ИЛИ.

    Пример: Строки 2 и 3 равны 1, строка 2 записывается как A AND NOT (B), строка 3 записывается как NOT (A) AND B и, следовательно, уравнение (A AND NOT (B) ) OR (NOT (A) AND B), что, возможно, упрощается до A XOR B

    Расчет из значений 0 таблицы истинности (Maxterms): для каждого 0 запишите в строке значения соответствующих входов, разделенных логическим ИЛИ, затем каждую строку, разделенную логическим И.

    Пример: Строки 1 и 4 равны 0, строка 1 записывается как A OR B, строка 4 записывается как NOT (A) OR NOT (B) и, следовательно, уравнение (A OR B) AND ( NOT (A) OR NOT (B)), что, возможно, упрощается до A XOR B

    Какова таблица истинности для логического И?

    Таблица истинности для функции И:

    Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

    Таблица истинности для функции ИЛИ:

    Какова таблица истинности для логического XOR?

    Таблица истинности для функции XOR:

    Что такое таблица истинности для логической И-НЕ?

    Таблица истинности для функции И-НЕ:

    Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

    Таблица истинности для функции ИЛИ:

    Что такое минтермы?

    Minterms $ m $ — это номера строк таблицы, которые имеют выход логической 1 (нумерация строк от 0).

    Пример: $ X = a + b $ таблица истинности имеет 1 выход TRUE в 3-й строке, поэтому $ X = \ sum {m (3)} $

    Что такое maxterms?

    maxterms $ M $ — это номера строк таблицы, которые имеют логический выход 0 (нумерация строк от 0).

    Пример: $ X = a + b $ таблица истинности имеет 3 вывода FALSE в 3 первых строках, отмеченных 0, 1 и 2, поэтому $ X = \ sum {M (0,1,2)} $

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Таблица истинности».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.), ни данные, ни скрипт, ни копирование-вставка, ни доступ к API не будут бесплатными. , то же самое для загрузки таблицы правды для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android!

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Инструменты аналогичные

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    истина, таблица, логическое, логическое, электронное, логическое

    Ссылки

    Источник: https: // www.dcode.fr/boolean-truth-table

    © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

    Таблицы истинности и анализ аргументов: Примеры

    Таблицы истинности

    Поскольку сложные логические утверждения могут быть сложными для размышления, мы можем создать таблицу истинности, чтобы отслеживать, какие значения истинности для простых утверждений делают сложное утверждение истинным или ложным

    Таблица истинности

    Таблица, показывающая, каково результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.

    Пример 1

    Предположим, вы выбираете новую кушетку, а ваша вторая половинка говорит: «Купите секцию или что-то в этом роде с шезлонгом».

    Это сложное утверждение, состоящее из двух более простых условий: «является секционным» и «имеет шезлонг». Для простоты давайте использовать S для обозначения «является секционным» и C для обозначения «имеет шезлонг». Условие S выполняется, если кушетка секционная.

    Таблица истинности для этого будет выглядеть так:

    S С S или C
    Т Т Т
    Т F Т
    Ф Т Т
    Ф F F

    В таблице T означает истину, а F — ложь.В первой строке, если S истинно и C также истинно, то сложное утверждение «S или C» истинно. Это будет секция, у которой тоже есть шезлонг, что соответствует нашему желанию.

    Помните также, что or в логике не исключает; если диван имеет обе функции, он соответствует условию.

    Для дальнейшего сокращения наших обозначений мы собираемся ввести некоторые символы, которые обычно используются для и, или, и not.

    Символы

    Символ ⋀ используется для и: A и B обозначаются как A ⋀ B.

    Символ ⋁ используется для или: A или B обозначены как A ⋁ B

    Символ ~ используется для обозначения not: not A not notated ~ A

    Вы можете запомнить первые два символа, связав их с формами объединения и пересечения. A ⋀ B будет элементами, которые существуют в обоих наборах, в A ⋂ B. Аналогично, A ⋁ B будет элементами, которые существуют в любом наборе, в A ⋃ B.

    В предыдущем примере таблица истинности на самом деле просто суммировала то, что мы уже знаем о работе оператора or.Таблицы истинности для основных утверждений and, or, and not показаны ниже.

    Основные таблицы истинности

    А Б A ⋀ B
    Т Т Т
    Т F F
    Ф Т F
    Ф F F
    A Б A ⋁ B
    Т Т Т
    Т F Т
    Ф Т Т
    Ф F F

    Таблицы истинности действительно становятся полезными при анализе более сложных логических операторов.

    Пример 2

    Создайте таблицу истинности для утверждения A ⋀ ~ (B ⋁ C)

    Это помогает работать изнутри при создании таблиц истинности и создавать таблицы для промежуточных операций. Мы начинаем с перечисления всех возможных комбинаций значений истинности для A, B и C. Обратите внимание, что первый столбец содержит 4 Ts, за которыми следуют 4 F, второй столбец содержит 2 Ts, 2 F, затем повторяется, а последний столбец чередуется. Этот шаблон обеспечивает учет всех комбинаций.Наряду с этими начальными значениями мы перечислим значения истинности для самого внутреннего выражения, B ⋁ C.

    А В С B ⋁ C
    Т Т Т Т
    Т Т F Т
    Т F Т Т
    Т F F F
    Ф Т Т Т
    Ф Т F Т
    Ф F Т Т
    Ф F F F

    Затем мы можем найти отрицание B ⋁ C, отработав столбец B C, который мы только что создали.

    А В С B ⋁ C ~ (B ⋁ C)
    Т Т Т Т F
    Т Т F Т F
    Т F Т Т F
    Т F F F Т
    Ф Т Т Т F
    Ф Т F Т F
    Ф F Т Т F
    Ф F F F Т

    Наконец, находим значения A и ~ (B ⋁ C)

    А В С B ⋁ C ~ (B ⋁ C) A ~ (B C)
    Т Т Т Т F F
    Т Т F Т F F
    Т F Т Т F F
    Т F F F Т Т
    Ф Т Т Т F F
    Ф Т F Т F F
    Ф F Т Т F F
    Ф F F F Т F

    Оказывается, это сложное выражение истинно только в одном случае: если A истинно, B ложно, а C ложно.

    Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие, основанное на значении условия. Теперь мы поговорим о более общей версии условного выражения, которое иногда называют импликацией.

    Последствия

    Импликации — это логические условные предложения, в которых говорится, что утверждение p, называемое антецедентом, подразумевает следствие q.

    Последствия обычно записываются как p → q

    Последствия аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; p → q обычно записывается как «если p, то q» или «p, следовательно, q.«Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные выражения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Последствия — это логическое утверждение, которое предполагает, что следствие должно логически следовать, если антецедент верен.

    Пример 3

    Английское утверждение «Если идет дождь, то в небе облака» является логическим следствием. Это веский аргумент, потому что если предшествующее утверждение «идет дождь» верно, то следствие «в небе облака» также должно быть верным.

    Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не будет дождя. Если антецедент ложен, то импликация становится неактуальной.

    Пример 4

    Друг говорит вам, что «если вы загрузите эту фотографию в Facebook, вы потеряете работу». Есть четыре возможных исхода:

    1. Вы загружаете фотографию и сохраняете свою работу
    2. Вы загружаете фотографию и теряете работу
    3. Вы не загружаете картинку, но сохраняете свою работу
    4. Вы не загружаете картинку и теряете работу

    Есть только один возможный случай, когда ваш друг лгал — первый вариант, когда вы загружаете изображение и сохраняете свою работу.В последних двух случаях ваш друг ничего не сказал о том, что произойдет, если вы не загрузите изображение, поэтому вы не можете сделать вывод, что его утверждение недействительно, даже если вы не загрузили изображение и все равно потеряли свое работа.

    В традиционной логике импликация считается действительной (истинной) до тех пор, пока нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.

    Истинные ценности для последствий

    п. q п → д
    Т Т Т
    Т F F
    Ф Т Т
    Ф F Т

    Пример 5

    Постройте таблицу истинности для утверждения (m ⋀ ~ p) → r

    Начнем с построения таблицы истинности для антецедента.

    м с. ~ стр. м ~ п
    Т Т F F
    Т F Т Т
    Ф Т F F
    Ф F Т F

    Теперь мы можем построить таблицу истинности для импликации

    м с. ~ стр. м ~ п r (м ~ p) → r
    Т Т F F Т Т
    Т F Т Т Т Т
    Ф Т F F Т Т
    Ф F Т F Т Т
    Т Т F F F Т
    Т F Т Т F F
    Ф Т F F F Т
    Ф F Т F F Т

    В этом случае, когда m истинно, p ложно и r ложно, тогда антецедент m ⋀ ~ p будет истинным, но последствие ложным, что приведет к недопустимой импликации; любой другой случай дает верное значение.

    Для любой импликации существует три связанных утверждения: обратное, обратное и противополагающее.

    Заявления по теме

    Исходная импликация — «если p, то q»: p → q

    Обратное: «если q, то p»: q → p

    Обратное выражение «если не p, то не q»: ~ p → ~ q

    Противоположный ответ — «если не q, то не p»: ~ q → ~ p

    Пример 6

    Снова рассмотрим действительный вывод: «Если идет дождь, то в небе облака.”

    Обратное выражение: «Если на небе облака, значит, идет дождь». Это, конечно, не всегда так.

    Обратное будет: «Если не идет дождь, то на небе нет облаков». Точно так же это не всегда так.

    Противоположный ответ: «Если на небе нет облаков, значит, не идет дождь». Это утверждение верно и эквивалентно исходному выводу.

    Глядя на таблицы истинности, мы можем видеть, что исходное условное и контрпозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.

    Последствия Конверс Обратный Контрапозитив
    p г p → q к → п ~ р → ~ д ~ д → ~ р
    Т Т Т Т Т Т
    Т F F Т Т F
    Ф Т Т F F Т
    Ф F Т Т Т Т

    Эквивалентность

    Условное утверждение и его контрпозитив логически эквивалентны.

    Обратное и обратное утверждения логически эквивалентны.

    Аргументы

    Логический аргумент — это утверждение, что набор предпосылок поддерживает заключение. Есть два основных типа аргументов: индуктивные и дедуктивные.

    Типы аргументов

    Индуктивный аргумент использует набор конкретных примеров в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить общий вывод.

    Дедуктивный аргумент использует набор общих утверждений в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить конкретную ситуацию в качестве заключения.

    Пример 7

    Аргумент «когда я пошел в магазин на прошлой неделе, я забыл свой кошелек, а когда я пошел сегодня, я забыл свой кошелек. Я всегда забываю свой кошелек, когда иду в магазин », — это индуктивный аргумент.

    Помещения:

    Я забыл сумочку на прошлой неделе
    Я забыл сумочку сегодня

    Вывод:

    Я всегда забываю свой кошелек

    Обратите внимание, что посылки — это конкретные ситуации, а заключение — это общее утверждение.В данном случае это довольно слабый аргумент, поскольку он основан всего на двух примерах.

    Пример 8

    Аргумент «каждый день в течение последнего года над моим домом в 14:00 пролетает самолет. Самолет будет пролетать над моим домом каждый день в 14:00 »- более сильный индуктивный аргумент, поскольку он основан на большем количестве доказательств.

    Оценка индуктивных аргументов

    Индуктивный аргумент никогда не может доказать истинность вывода, но он может предоставить либо слабые, либо убедительные доказательства того, что это может быть правдой.

    Многие научные теории, такие как теория большого взрыва, никогда не могут быть доказаны. Напротив, это индуктивные аргументы, подкрепленные множеством свидетельств. Обычно в науке идея считается гипотезой до тех пор, пока она не будет хорошо проверена, после чего она становится теорией. Общеизвестные научные теории, такие как теория гравитации Ньютона, выдержали годы испытаний и доказательств, хотя иногда их нужно корректировать на основе новых данных.Что касается гравитации, это произошло, когда Эйнштейн предложил общую теорию относительности.

    Дедуктивный аргумент является более достоверным или нет, что упрощает их оценку.

    Оценка дедуктивных аргументов

    Дедуктивный аргумент считается действительным, если все посылки верны, и вывод логически следует из этих посылок. Другими словами, посылки верны, и вывод обязательно следует из этих посылок.

    Пример 9

    Аргумент «Все кошки — млекопитающие, а тигр — это кошка, значит, тигр — это млекопитающее» — действенный дедуктивный аргумент.

    Помещения:

    Все кошки — млекопитающие
    Тигр — это кошка

    Вывод:

    Тигр — млекопитающее

    Оба предположения верны. Чтобы увидеть, что посылки должны логически вести к заключению, можно использовать диаграмму Венна. Исходя из первой предпосылки, мы можем заключить, что набор кошек — это подмножество множества млекопитающих. Из второй посылки нам говорят, что тигр находится внутри множества кошек. Исходя из этого, мы можем видеть на диаграмме Венна, что тигр также находится внутри группы млекопитающих, так что вывод верен.

    Анализ аргументов с помощью диаграмм Венна

    Анализ аргумента с помощью диаграммы Венна

    1. Постройте диаграмму Венна на основе посылок аргумента
    2. Если помещения недостаточно, чтобы определить, что определяет расположение элемента, укажите это.
    3. Аргумент действителен, если ясно, что заключение должно быть верным

    Пример 10

    Предпосылка: все пожарные знают CPR
    Предпосылка: Джилл знает CPR
    Заключение: Джилл — пожарный

    Из первой предпосылки мы знаем, что все пожарные находятся в группе тех, кто знает СЛР.Из второй посылки мы знаем, что Джилл является членом этого большего набора, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, является ли она также членом меньшего подмножества, то есть пожарных.

    Поскольку вывод не обязательно следует из предпосылок, это неверный аргумент, независимо от того, действительно ли Джилл является пожарным.

    Важно отметить, что то, действительно ли Джилл — пожарный, не имеет значения для оценки обоснованности аргумента; нас интересует только то, достаточно ли предпосылок, чтобы доказать вывод.

    В дополнение к этим предпосылкам категориального стиля в форме «все ___», «некоторые ____» и «нет ____» также часто можно увидеть посылки, которые имеют значение.

    Пример 11

    Предпосылка: Если вы живете в Сиэтле, вы живете в Вашингтоне.
    Предпосылка: Маркус не живет в Сиэтле
    Заключение: Маркус не живет в Вашингтоне

    Из первой предпосылки мы знаем, что множество людей, живущих в Сиэтле, находится внутри множества тех, кто живет в Вашингтоне.Из второй посылки мы знаем, что Маркус не находится в множестве Сиэтла, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, живет ли Маркус в Вашингтоне или нет. Это недопустимый аргумент.

    Пример 12

    Рассмотрим аргумент «Вы женатый мужчина, значит, у вас должна быть жена».

    Это неверный аргумент, поскольку есть, по крайней мере, в некоторых частях мира, мужчины, состоящие в браке с другими мужчинами, поэтому посылка недостаточна, чтобы сделать вывод.

    Некоторые аргументы лучше анализировать с помощью таблиц истинности.

    Пример 13

    Рассмотрим аргумент:

    Помещение: Если вы купили хлеб, то вы пошли в магазин
    Помещение: вы купили хлеб
    Вывод: вы пошли в магазин

    Хотя мы надеемся, что этот пример является довольно очевидным аргументом, мы можем проанализировать его с помощью таблицы истинности, представив каждую из посылок символически. Затем мы можем взглянуть на импликацию, что все предпосылки вместе подразумевают заключение. Если таблица истинности является тавтологией (всегда верно), то аргумент действителен.

    Мы получим, что B означает «вы купили хлеб», а S — «вы пошли в магазин». Тогда аргумент принимает вид:

    Предпосылка: B → S
    Предпосылка: B
    Заключение: S

    Чтобы проверить достоверность, мы смотрим, подразумевает ли комбинация обоих посылок вывод; верно ли, что [(B → S) ⋀ B] → S?

    B S В → С (B → S) ⋀ B [(B → S) ⋀ B] → S
    Т Т Т Т Т
    Т F F F Т
    Ф Т Т F Т
    Ф F Т F Т

    Поскольку таблица истинности для [(B → S) ⋀ B] → S всегда истинна, это допустимый аргумент.

    Анализ аргументов с использованием таблиц истинности

    Чтобы проанализировать аргумент с помощью таблицы истинности:

    1. Обозначьте каждое из помещений символически
    2. Создайте условное утверждение, соединив все посылки с антецедентом и образуя его, и используя заключение как следствие.
    3. Создайте таблицу истинности для этого утверждения. Если это всегда правда, то аргумент действителен.

    Пример 14

    Предпосылка: если я пойду в торговый центр, то куплю новые джинсы
    Предпосылка: если я куплю новые джинсы, я куплю к ним рубашку
    Вывод: если я приду в торговый центр, я куплю рубашка.

    Пусть M = я иду в торговый центр, J = я покупаю джинсы и S = ​​я покупаю рубашку.

    Предпосылки и заключение можно изложить как:

    Предпосылка: M → J
    Предпосылка: J → S
    Заключение: M → S

    Мы можем построить таблицу истинности для [(M → J) ⋀ (J → S)] → (M → S)

    M Дж S M → J J → S (М → Дж) ⋀ (Дж → С) M → S [(M → J) ⋀ (J → S)] → (M → S)
    Т Т Т Т Т Т Т Т
    Т Т F Т F F F Т
    Т F Т F Т F Т Т
    Т F F F Т F F Т
    Ф Т Т Т Т Т Т Т
    Ф Т F Т F F Т Т
    Ф F Т Т Т Т Т Т
    Ф F F Т Т Т Т Т

    Из таблицы истинности мы видим, что это действительный аргумент.


    Страница не найдена — Khoury College Development

    В мире, где информатика (CS) присутствует повсюду, CS для всех. CS пересекает все дисциплины и отрасли.

    Колледж компьютерных наук Хури стремится к созданию и развитию разнообразной инклюзивной среды.

    Первый в стране колледж компьютерных наук, основанный в 1982 году, Khoury College вырос в размерах, разнообразии, образовательных программах и передовых исследовательских достижениях.

    В наших региональных кампусах, расположенных в промышленных и технологических центрах, Khoury College предлагает сильные академические программы в ярких городах для жизни, работы и учебы.

    Колледж Хури — это сообщество людей, посвятивших себя обучению, наставничеству, консультированию и поддержке студентов по каждой программе.

    Программы награждения колледжей и университетов проливают свет на выдающихся преподавателей, студентов, выпускников и партнеров по отрасли.

    Наши исследования в реальном мире, выдающиеся преподаватели, выдающиеся спикеры, динамичные выпускники и разнообразные студенты рассказывают свои истории и попадают в новости.

    В колледже Хури обучение происходит в классе и за его пределами.Мероприятия в нашей сети кампусов обогащают образовательный опыт.

    Информатика повсюду.Студенты колледжа Хури занимаются соответствующей работой, исследованиями, глобальными исследованиями и опытом оказания услуг, которые помогают им расти.

    Студенты магистратуры углубляют свои знания благодаря проектной работе, профессиональному опыту работы и научным сотрудникам.

    Работа над исследованиями с преподавателями занимает центральное место в опыте докторантуры.Докторанты колледжа Хури также могут заниматься исследованиями вместе с партнерами по отрасли.

    Преподаватели и студенты колледжа Хури проводят эффективную работу по различным дисциплинам. Обладая широтой областей исследований, мы каждый день решаем новые проблемы в сфере технологий.

    Наши институты и исследовательские центры объединяют ведущих академических, промышленных и государственных партнеров, чтобы использовать мощь вычислений.

    Исследовательские проекты, разработанные и возглавляемые преподавателями мирового класса Khoury College, привлекают студентов и других исследователей к получению новых знаний.

    Исследовательские лаборатории и группы сосредотачиваются на наборе проблем в определенном контексте, предлагая исследования и сотрудничество.

    Эта новая инициатива направлена ​​на устранение рисков для конфиденциальности и личных данных коллективными усилиями на низовом уровне с упором на прозрачность и подотчетность.

    Современные помещения, бесшовные системы, инновационные лаборатории и помещения позволяют нашим преподавателям и студентам проводить передовые исследования.

    Колледж Хури гордится нашим коллективным и инклюзивным сообществом. Каждый день мы стремимся создавать программы, которые приветствуют самых разных студентов в CS.

    Более 20 компьютерных клубов в колледже Хури и Северо-Востоке предлагают что-то для каждого студента.Мы всегда рады новым членам на всех уровнях.

    Студенты учатся в современных классах, конференц-залах для совместной работы, а также в ультрасовременных лабораториях и исследовательских центрах.

    Сети обеспечивают безопасную и бесперебойную работу кода, современное и надежное оборудование, а наша квалифицированная системная команда управляет поддержкой и обновлениями.

    Заинтригованы колледжем Хури и высшим образованием на северо-востоке? Начните здесь, чтобы увидеть общую картину — академические науки, экспериментальное обучение, студенческую жизнь и многое другое.

    Готовы сделать следующий шаг в технической карьере? Наши магистерские программы сочетают академическую строгость, высокое качество исследований и значимые возможности для получения опыта.

    Добро пожаловать в магистерскую программу Align, предназначенную для людей, готовых добавить информатику (CS) к своим навыкам или переключиться на новую карьеру в сфере технологий.

    Будучи аспирантом Хури, вы погрузитесь в строгий учебный план, будете сотрудничать с известными преподавателями и окажете влияние в выбранной вами области исследования.

    Где бы вы ни находились на пути бакалавриата Хури, у нас есть консультанты, ресурсы и возможности, которые помогут вам добиться успеха и сделать информатику для всех.

    Где бы вы ни находились в аспирантуре Хури, наши консультанты, информационные ресурсы и возможности помогут вам выработать индивидуальный путь.

    На любом этапе пути Align — и в любом из наших университетских городков — консультанты, ресурсы и возможности Khoury поддержат ваш путь к карьере в сфере технологий.

    Консультанты и преподаватели помогут вам сориентироваться в аспирантуре в колледже Хури — от исследовательских пространств и междисциплинарных проектов до студенческой жизни и ресурсов.

    Преподаватели и сотрудники вносят исключительный вклад в Колледж Хури — и в будущее информатики. Мы здесь, чтобы поддержать вас на каждом шагу.

    6. Семантика логики высказываний — логика и доказательство 3.18.4 документация

    Классически мы думаем о пропозициональных переменных как о диапазоне утверждений, которые могут быть истинными или ложными.И интуитивно мы думаем о системе доказательств как о том, какие пропозициональные формулы должны быть истинными, независимо от того, что означают переменные. Например, тот факт, что мы можем доказать \ (C \) из гипотез \ (A \), \ (B \) и \ (A \ wedge B \ to C \), кажется, говорит нам, что всякий раз, когда гипотезы true, то \ (C \) также должно быть истинным.

    Чтобы понять это, нужно выйти за пределы системы и дать отчет об истинности — точнее, условиях, при которых пропозициональная формула истинна.Это одна из вещей, для которой была разработана символическая логика, и эта задача относится к области семантики. Формулы и формальные доказательства — это синтаксические понятия, то есть они представлены символами и символическими структурами. Истина — это семантическое понятие, поскольку оно приписывает определенный тип значения определенным формулам.

    Синтаксически мы могли задавать следующие вопросы и отвечать на них:

    • Учитывая набор гипотез \ (\ Gamma \) и формулу \ (A \), можем ли мы вывести \ (A \) из \ (\ Gamma \)?

    • Какие формулы можно получить из \ (\ Gamma \)?

    • Какие гипотезы необходимы для вывода \ (A \)?

    Вопросы, которые мы рассматриваем семантически разные:

    • Учитывая присвоение значений истинности пропозициональным переменным, встречающимся в формуле \ (A \), является ли \ (A \) истинным или ложным?

    • Существует ли какое-либо присвоение истинности, которое делает \ (A \) истинным?

    • Какие определения истинности делают \ (A \) истинным?

    В этой главе мы не будем предоставлять полностью строгую математическую обработку синтаксиса и семантики.Этот предмет подходит для более продвинутого и целенаправленного курса математической логики. Но мы обсудим семантические вопросы достаточно подробно, чтобы дать вам хорошее представление о том, что значит семантическое мышление, а также о том, как прагматично использовать семантические понятия.

    6.1. Истинные ценности и присвоения

    Первое понятие, которое нам понадобится, — это значение истинности. Мы уже видели два, а именно «истинное» и «ложное». Мы будем использовать символы \ (\ mathbf {T} \) и \ (\ mathbf {F} \), чтобы представить их в неформальной математике.Это значения, которые \ (\ top \) и \ (\ bot \) предназначены для обозначения при естественном вычитании, а true и false предназначены для обозначения в Lean.

    В этом тексте мы примем «классическое» понятие истины, следуя нашему обсуждению в разделе 5. Это можно понимать по-разному, но, в частности, все сводится к следующему: мы будем предполагать, что любое утверждение либо истинно. или ложь (но, конечно, не оба сразу). Эта концепция истины лежит в основе закона исключенного третьего, \ (A \ vee \ neg A \).Семантически мы читаем это предложение как «либо \ (A \) истинно, либо \ (\ neg A \) истинно». Поскольку в нашей семантической интерпретации \ (\ neg A \) истинно именно тогда, когда \ (A \) ложно, закон исключенной середины говорит, что \ (A \) либо истинно, либо ложно.

    Следующее понятие, которое нам понадобится, — это присвоение истинности, которое представляет собой просто функцию, которая присваивает значение истинности каждому элементу набора пропозициональных переменных. В этом разделе мы будем различать пропозициональные переменные и произвольные формулы, используя буквы \ (P, Q, R, \ ldots \) ​​для первых и \ (A, B, C, \ ldots \) ​​для вторых.Например, функция \ (v \), определенная в

    • \ (v (P): = \ mathbf {T} \)

    • \ (v (Q): = \ mathbf {F} \)

    • \ (v (R): = \ mathbf {F} \)

    • \ (v (S): = \ mathbf {T} \)

    — это задание истинности для набора переменных \ (\ {P, Q, R, S \} \).

    Интуитивно задание истинности описывает возможное «состояние мира». Возвращаясь к загадке «Злоба и Алиса», предположим, что следующие буквы являются сокращениями для утверждений:

    • \ (P \): = Брат Алисы стал жертвой

    • \ (Q \): = Алиса была убийцей

    • \ (R \): = Алиса была в баре

    В мире, описанном решением головоломки, первое и третье утверждения верны, а второе — ложно.Таким образом, наше присвоение истинности дает значение \ (\ mathbf {T} \) \ (P \) и \ (R \), а значение \ (\ mathbf {F} \) — \ (Q \).

    Как только у нас есть присвоение истинности \ (v \) набору пропозициональных переменных, мы можем расширить его до оценочной функции \ (\ bar v \), которая присваивает значение истина или ложь каждой пропозициональной формуле, которая зависит только от по этим переменным. Функция \ (\ bar v \) определяется рекурсивно, то есть формулы вычисляются снизу вверх, так что значение, присвоенное составной формуле, определяется значениями, присвоенными ее компонентам.Формально функция определяется следующим образом:

    • \ (\ bar v (\ top) = \ mathbf {T} \).

    • \ (\ bar v (\ bot) = \ mathbf {F} \).

    • \ (\ bar v (\ ell) = v (\ ell) \), где \ (\ ell \) — любая пропозициональная переменная.

    • \ (\ bar v (\ neg A) = \ mathbf {T} \), если \ (\ bar v (A) \) равно \ (\ mathbf {F} \), и наоборот.

    • \ (\ bar v (A \ wedge B) = \ mathbf {T} \), если \ (\ bar v (A) \) и \ (\ bar v (B) \) оба являются \ (\ mathbf { T} \) и \ (\ mathbf {F} \) в противном случае.

    • \ (\ bar v (A \ vee B) = \ mathbf {T} \), если хотя бы одно из \ (\ bar v (A) \) и \ (\ bar v (B) \) равно \ ( \ mathbf {T} \); в противном случае \ (\ mathbf {F} \).

    • \ (\ bar v (A \ to B) = \ mathbf {T} \), если \ (\ bar v (B) \) равно \ (\ mathbf {T} \) или \ (\ bar v ( A) \) равно \ (\ mathbf {F} \), и \ (\ mathbf {F} \) в противном случае. (Эквивалентно \ (\ bar v (A \ to B) = \ mathbf {F} \), если \ (\ bar v (A) \) равно \ (\ mathbf {T} \) и \ (\ bar v ( B) \) равно \ (\ mathbf {F} \), и \ (\ mathbf {T} \) в противном случае.)

    Правила конъюнкции и дизъюнкции легко понять.«\ (A \) и \ (B \)» истинно именно тогда, когда \ (A \) и \ (B \) оба истинны; «\ (A \) или \ (B \)» истинно, если истинно хотя бы одно из \ (A \) или \ (B \).

    Сложнее понять правило импликации. Люди часто удивляются, узнав, что любое утверждение «если-то» с ложной гипотезой должно быть истинным. Утверждение «если у меня две головы, то круги есть квадраты» может звучать так, как будто оно должно быть ложным, но, по нашим подсчетам, оно оказывается верным. Чтобы понять это, подумайте о разнице между двумя предложениями:

    • «Если у меня две головы, то круги будут квадратами.”

    • «Если бы у меня было две головы, то круги были бы квадратами».

    Второе предложение — пример контрфактического значения. Он утверждает что-то о том, как мир мог бы измениться, если бы все было иначе, чем есть на самом деле. Философы веками изучали контрфакты, но математическая логика занимается первым предложением — материальным подтекстом. Материальный подтекст говорит о том, каков мир сейчас, а не о том, каким он мог бы быть.Поскольку неверно, что у меня две головы, утверждение «если у меня две головы, то круги являются квадратами».

    Почему мы так оцениваем материальные последствия? И снова давайте рассмотрим истинное предложение: «каждое простое натуральное число больше двух нечетно». Мы можем интерпретировать это предложение как утверждение, что все (бесконечно много) предложений в этом списке верны:

    • Если 0 простое и больше 2, то 0 нечетное.

    • Если 1 простое и больше 2, то 1 нечетное.

    • Если 2 простое и больше 2, то 2 нечетное.

    • Если 3 простое и больше 2, то 3 нечетное.

    Первое предложение в этом списке очень похоже на наш пример с «двумя головами», поскольку и гипотеза, и заключение ложны. Но поскольку это экземпляр утверждения, которое в целом истинно, мы обязуемся присвоить ему значение \ (\ mathbf {T} \). Второе предложение иное: гипотеза все еще ложна, но здесь вывод верен.Вместе они говорят нам, что всякий раз, когда гипотеза ложна, условное утверждение должно быть истинным. Четвертое предложение содержит верную гипотезу и верный вывод. Итак, из второго и четвертого предложений мы видим, что всякий раз, когда вывод является истинным, условное выражение также должно быть истинным. Наконец, кажется очевидным, что предложение «если 3 простое и больше 2, то 3 четное» не должно быть верным. Этот паттерн, в котором гипотеза верна, а вывод ложен, является единственным, для которого условие будет ложным.

    Давайте мотивируем семантику материальной импликации другим способом, используя дедуктивные правила, описанные в предыдущей главе. Обратите внимание, что если \ (B \) истинно, мы можем доказать \ (A \ to B \) без каких-либо предположений относительно \ (A \):

    Это следует из правильного прочтения правила введения импликации: учитывая \ (B \), всегда можно вывести \ (A \ to B \), а затем отменить предположение \ (A \), если оно есть. Если \ (A \) никогда не использовался в доказательстве, вывод просто слабее, чем должен быть.Этот вывод подтвержден в Lean:

    .

     переменных A B: Prop
    переменная hB: B
    
    пример: A → B: =
    Предположим, что hA: A,
      показать B, от hB
     

    Аналогично, если \ (A \) ложно, мы можем доказать \ (A \ to B \) без каких-либо предположений относительно \ (B \):

    В Lean:

     переменных A B: Prop
    переменная hnA: ¬ A
    
    пример: A → B: =
    Предположим, что hA: A,
      показать B, из false.elim (hnA hA)
     

    Наконец, если \ (A \) истинно, а \ (B \) ложно, мы можем доказать \ (\ neg (A \ to B) \):

    Еще раз, в Lean:

     переменных A B: Prop
    переменная hA: A
    переменная hnB: ¬B
    
    пример: ¬ (A → B): =
    Предположим, что h: A → B,
    иметь hB: B, от h hA,
    показать ложь, от hnB hB
     

    Теперь, когда мы определили истинность любой формулы относительно присвоения истинности, мы можем ответить на наш первый семантический вопрос: дано присвоение \ (v \) значений истинности пропозициональным переменным, присутствующим в некоторой формуле \ (\ varphi \) , как определить, истинно ли \ (\ varphi \)? Это равносильно вычислению \ (\ bar v (\ varphi) \), а рекурсивное определение \ (\ varphi \) дает рецепт: мы оцениваем выражения, встречающиеся в \ (\ varphi \) снизу вверх, начиная с пропозициональные переменные и использование оценки компонентов выражения для оценки самого выражения.Например, предположим, что наше присвоение истинности \ (v \) делает \ (A \) и \ (B \) истинными, а \ (C \) ложными. Чтобы оценить \ ((B \ to C) \ vee (A \ wedge B) \) под \ (v \), обратите внимание, что выражение \ (B \ to C \) оказывается ложным, а выражение \ (A \ wedge B \) оказывается верным. Поскольку дизъюнкция «ложь или истина» истинна, вся формула истинна.

    Мы также можем пойти в другом направлении: имея формулу, мы можем попытаться найти определение истинности, которое сделает ее истинной (или ложной). Фактически, мы можем использовать Lean для оценки формул за нас.В следующем примере вы можете присвоить любой набор значений символам предложения A , B , C , D и E . Когда вы запускаете Lean на этом входе, вывод оператора eval является значением выражения.

     - Определите здесь свое назначение правды
    def A: = tt
    def B: = ff
    def C: = tt
    def D: = tt
    def E: = ff
    
    def test (p: Prop) [разрешимый p]: string: =
    если p, то «истина» иначе «ложь»
    
    #eval test ((A ∧ B) ∨ ¬ C)
    #eval test (A → D)
    #eval test (C → (D ∨ ¬E))
    #eval test (¬ (A ∧ B ∧ C ∧ D))
     

    Попробуйте варьировать назначения истины, чтобы увидеть, что произойдет.Вы можете добавить свои собственные формулы в конец ввода и оценить их. Постарайтесь найти определения истинности, которые сделают каждую из проверенных выше формул истинной. В качестве дополнительной задачи попробуйте найти одно задание истины, которое сделает их все одновременно истинными.

    6.2. Таблицы истинности

    Второй и третий вопросы по семантике, которые мы задали, немного сложнее первого. Для данной формулы \ (A \) существует ли какое-либо присвоение истинности, которое делает \ (A \) истинным? Если да, то какие присвоения истинности делают \ (A \) истинным? Вместо того, чтобы рассматривать одно конкретное назначение истины, эти вопросы просят нас количественно оценить все возможные назначения истины.n \) возможные присвоения истинности. Это число очень быстро растет, поэтому здесь мы в основном рассмотрим более мелкие формулы.

    Мы будем использовать так называемую таблицу истинности, чтобы выяснить, когда формула верна, если вообще верна. В левой части таблицы истинности мы поместим все возможные присвоения истинности для настоящих пропозициональных букв. В правой части мы поместим значение истинности всей формулы под соответствующее присвоение.

    Для начала можно использовать таблицы истинности, чтобы кратко описать семантику наших логических связок:

    Мы предоставим вам составить таблицу для \ (\ neg A \) в качестве простого упражнения.

    Для составных формул стиль почти такой же. Иногда бывает полезно включить промежуточные столбцы со значениями истинности подформул:

    Записав таблицу истинности для формулы, мы можем взглянуть на строки и увидеть, какие назначения истинности делают формулу истинной. Если все записи в последнем столбце — \ (\ mathbf {T} \), как в приведенном выше примере, формула считается действительной.

    6.3. Обоснованность и полнота

    Предположим, мы имеем в виду фиксированную систему дедукции, такую ​​как естественная дедукция.Пропозициональная формула называется доказуемой, если в этой системе есть формальное доказательство. Формула высказываний называется тавтологией или действительной, если она истинна при любом назначении истины. Доказуемость — это синтаксическое понятие, поскольку оно утверждает существование синтаксического объекта, а именно доказательства. Валидность — это семантическое понятие, поскольку оно связано с присвоением истинности и оценками. Но интуитивно эти понятия должны совпадать: оба выражают идею, что формула \ (A \) должна быть истинной или обязательно истинной, и можно было бы ожидать, что хорошая система доказательств позволит нам вывести действительные формулы.

    Утверждение о том, что каждая доказуемая формула верна, называется обоснованностью. Если \ (A \) — любая формула, логики используют обозначение \ (\ vdash A \), чтобы выразить доказуемость \ (A \), и обозначение \ (\ vDash A \), чтобы выразить это \ (A \ ) действует. (Первый символ иногда называют «турникетом», а второй символ иногда называют «двойным турникетом».) При таком обозначении разумность говорит о том, что для каждой пропозициональной формулы \ (A \), если \ (\ vdash A \ ), затем \ (\ vDash A \). Обратное, которое гласит, что каждая действительная формула доказуема, называется полнотой.В символических терминах это говорит, что для каждой формулы \ (A \), если \ (\ vDash A \), то \ (\ vdash A \).

    Поскольку мы выбрали наши правила вывода и определили понятие оценки, эта интуиция о том, что эти два понятия должны совпадать, остается верной. Другими словами, система естественного вывода, которую мы представили для логики высказываний, является надежной и полной в отношении семантики таблицы истинности.

    Эти понятия обоснованности и полноты распространяются на доказуемость гипотез.Если \ (\ Gamma \) — это набор пропозициональных формул, а \ (A \) — пропозициональная формула, то \ (A \) называется логическим следствием \ (\ Gamma \), если при любом назначении истинности что делает каждую формулу в \ (\ Gamma \) истинной, \ (A \) также истинной. В этом расширенном контексте разумность говорит, что если \ (A \) доказуемо из \ (\ Gamma \), то \ (A \) является логическим следствием \ (\ Gamma \). Полнота идет другим путем: если \ (A \) является логическим следствием \ (\ Gamma \), это доказуемо из \ (\ Gamma \). В символических терминах мы пишем \ (\ Gamma \ vdash A \), чтобы выразить, что \ (A \) доказуемо по формулам из \ (\ Gamma \) (или что \ (\ Gamma \) доказывает \ (A \) ), и мы пишем \ (\ Gamma \ vDash A \), чтобы выразить, что \ (A \) является логическим следствием \ (\ Gamma \) (или что \ (\ Gamma \) влечет за собой \ (A \)).С этой записью разумность говорит, что для каждой пропозициональной формулы \ (A \) и набора пропозициональных формул \ (\ Gamma \), если \ (\ Gamma \ vdash A \), то \ (\ Gamma \ vDash A \), и полнота говорит, что для любых \ (A \) и \ (\ Gamma \), если \ (\ Gamma \ vDash A \), то \ (\ Gamma \ vdash A \).

    Учитывая набор пропозициональных формул \ (\ Gamma \) и пропозициональную формулу \ (A \), предыдущий раздел дает нам рецепт решения, влечет ли \ (\ Gamma \) за \ (A \): построить таблицы истинности для всех формул в \ (\ Gamma \) и \ (A \), и проверьте, истинно ли каждое \ (A \) в каждой строке таблицы, в которой верна каждая формула \ (\ Gamma \).(Неважно, что происходит с \ (A \) в строках, где некоторая формула в \ (\ Gamma \) ложна.)

    Обратите внимание, что с помощью правил естественного вывода формула \ (A \) доказуема на основе набора гипотез \ (\ {B_1, B_2, \ ldots, B_n \} \) тогда и только тогда, когда формула \ (B_1 \ клин B_2 \ клин \ cdots \ клин B_n \ to A \) доказывается напрямую, то есть без гипотез. Таким образом, по крайней мере для конечных наборов формул \ (\ Gamma \) два утверждения о правильности и полноте эквивалентны.

    Доказательство правильности и полноты относится к области метатеории, поскольку требует от нас размышлений о наших методах рассуждения.Это не является центральной темой этой книги: мы больше озабочены использованием логики и понятия истины, чем установлением их свойств. Но понятия разумности и полноты играют важную роль, помогая нам понять природу логических понятий, и поэтому мы попытаемся дать здесь некоторые подсказки относительно того, почему эти свойства верны для логики высказываний.

    Доказать правильность проще, чем полноту. Мы хотим показать, что всякий раз, когда \ (A \) доказуемо с помощью набора гипотез \ (\ Gamma \), то \ (A \) является логическим следствием \ (\ Gamma \).В следующей главе мы рассмотрим доказательства по индукции, которая позволяет нам установить свойство, выполняемое для общего набора объектов, показывая, что оно выполняется для некоторых «простых» и сохраняется при переходе к более сложным объектам. В случае естественной дедукции достаточно показать, что надежность имеет место в самых основных доказательствах — с использованием правила предположения — и что она сохраняется при каждом правиле вывода. Базовый случай прост: правило предположения гласит, что \ (A \) доказуемо на основе гипотезы \ (A \), и ясно, что каждое присвоение истинности, которое делает \ (A \) истинным, делает \ (A \) истинным.Индуктивные шаги не намного сложнее; они включают проверку того, что выбранные нами правила связаны с семантическими понятиями. Например, предположим, что последнее правило — это правило и-введения. В этом случае у нас есть доказательство \ (A \) из некоторых гипотез \ (\ Gamma \) и доказательство \ (B \) из некоторых гипотез \ (\ Delta \), и мы объединяем их, чтобы сформировать доказательство \ (A \ wedge B \) из гипотез из \ (\ Gamma \ cup \ Delta \), то есть из гипотез из обоих. Индуктивно, мы можем предположить, что \ (A \) является логическим следствием \ (\ Gamma \) и что \ (B \) является логическим следствием \ (\ Delta \).Пусть \ (v \) будет любым назначением истинности, которое делает каждую формулу в \ (\ Gamma \ cup \ Delta \) истинной. Тогда по предположению индукции мы имеем, что оно делает истинным \ (A \), а также \ (B \). По определению функции оценки \ (\ bar v (A \ wedge B) = \ mathbf {T} \), как и требуется.

    Доказать полноту сложнее. Достаточно показать, что если \ (A \) — произвольная тавтология, то \ (A \) доказуема. Одна из стратегий — показать, что естественная дедукция может моделировать метод таблиц истинности. Например, предположим, что \ (A \) состоит из пропозициональных переменных \ (B \) и \ (C \).Тогда при естественном дедукции мы сможем доказать

    \ [(B \ клин C) \ vee (B \ клин \ neg C) \ vee (\ neg B \ клин C) \ vee (\ neg B \ клин \ neg C), \]

    с одним дизъюнктом для каждой строки таблицы истинности. Затем мы должны иметь возможность использовать каждый дизъюнкт для «оценки» каждого выражения, встречающегося в \ (A \), доказывая его истинность или ложность в соответствии с его оценкой, пока у нас не будет доказательства самого \ (A \).

    Более приятный способ продолжить — это выразить правила естественного вывода таким образом, чтобы мы могли работать в обратном направлении от \ (A \) в поисках доказательства.Другими словами, сначала мы даем процедуру построения вывода \ (A \), работая в обратном направлении от \ (A \). Затем мы утверждаем, что если процедура терпит неудачу, то в той точке, где она терпит неудачу, мы можем найти определение истинности, которое делает \ (A \) ложным. В результате, если каждое присвоение истинности делает \ (A \) истинным, процедура возвращает доказательство \ (A \).

    6.4. Упражнения

    1. Покажите, что \ (A \ to B \), \ (\ neg A \ vee B \) и \ (\ neg (A \ wedge \ neg B) \) логически эквивалентны, выписав таблицу истинности и показывая, что они имеют одинаковые значения для всех назначений истины.

    2. Запишите таблицу истинности для \ ((A \ to B) \ wedge (B \ wedge C \ to A) \).

    3. Покажите, что \ (A \ to B \) и \ (\ neg B \ to \ neg A \) эквивалентны, выписав таблицы истинности и показывая, что они
      имеют одинаковые значения для всех назначений истинности.

    4. Имеет ли место следующее влечение?

      \ [\ {A \ to B \ vee C, \ neg B \ to \ neg C \} \ models A \ to B \]

      Обоснуйте свой ответ, выписав таблицу истинности (извините, она длинная).Четко укажите строки, в которых обе гипотезы верны.

    5. Можно ли вывести следующие формулы? Обоснуйте свой ответ либо выводом, либо контрпримером.

      • \ (\ neg (\ neg A \ vee B) \ to A \)

      • \ ((\ neg A \ to \ neg B) \ to (A \ to B) \)

      • \ (((P \ клин Q) \ к R) \ to (R \ vee \ neg P) \)

      • \ ((\ neg P \ клин \ neg Q) \ to \ neg (Q \ vee P) \)

    .