Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Спектры периодических сигналов

Спектры периодических
сигналов

Если функция u(t)
задана в интервале

и удовлетворяет условиям Дирихле
(непрерывная, имеет конечное число точек
разрыва 1-ого рода и конечное число
экстремальных точек), повторяется с
периодом

на протяжении времени от

до

и если в качестве базисных функций
выбраны экспоненциальные функции, то
ее можно записать в виде:

, (1)

. (2)

Выражение (1) – ряд
Фурье в комплексной форме, а (2) –
комплексный спектр периодического
сигнала u(t),
спектр дискретный.

Огибающая
комплексного спектра

имеет вид:

. (3)

Комплексный спектр
можно представить в виде:

, (4)

где

— спектр амплитуд,

— спектр фаз.

Пользуясь формулой
Эйлера:

,

можно представить
в виде действительной и мнимой частей:

. (5)

Спектр амплитуд

— четная функция, спектр фаз

— функция нечетная.

При

получаем постоянную составляющую:

. (6)

Можно перейти от
двустороннего спектрального представления
к одностороннему (без отрицательных
частот), объединяя комплексные сопряженные
корни. Тогда получим ряд Фурье в
тригонометрической форме:

, (7)

или в виде

(8)

Огибающую

спектра амплитуд можно получить, заменив

в

на
,
де

для

гармоники.

Пример 1.

Так как
,
то

.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Отметим, что

Тогда

Амплитуда гармоник
;

;

Восстановим
периодическую последовательность
,
вычислив несколько первых членов ряда
Фурье и проследив, как сумма сходится
к указанному сигналу.

Функция является
нечетной, поэтому

;

Спектры
непериодических сигналов

Любой физически
реализуемый сигнал ограничен во времени
и обладает конечной энергией. Модели
таких сигналов также могут быть
представлены совокупностью гармонических
составляющих в виде:

, (1)

где

— базисная функция,

— спектральная плотность.

С увеличением
периода Т
значения амплитуд спектральных
составляющих уменьшаются. Так как
частоты составляющих спектра кратны
основной частоте, то при ее уменьшении
линии на спектральной диаграмме
сближаются.

Спектральное
представление для одиночного импульса

можно получить увеличение периода
сигнала

до бесконечности.

Пару преобразований
Фурье для периодической функции

запишем в форме:

При
,

переходит в
,
частота

уменьшается до
,
а

превращается в текущую частоту.

Заменяя суммирование
интегрированием, находим:

Обозначив интеграл
в квадратных скобках через
,
получим спектральную плотность
(спектральная характеристика), получим
формулы прямого и обратного интегрального
преобразования Фурье:

,

.

На каждой конкретной
частоте амплитуда соответствующей
составляющей равна нулю.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Бесконечно
малому интервалу частоты

составляющая с бесконечно малой
комплексной амплитудой
.

. (4)

Огибающая спектра

периодической функции имеет вид:

Сравнивая ее с
(2), видим, что они различаются только
множителем

. (5)

Поэтому по известной
спектральной характеристике одиночного
импульса легко построить линейчатый
спектр их периодической последовательности.

Так как

— величина комплексная, она может быть
записана в виде:

, (6)

где

— спектральная плотность амплитуд –
спектр непериодического сигнала,

спектральная плотность фаз.

Так как составляющие
расположены на всех частотах, то спектр
непериодического сигнала является
непрерывным или сплошным.

Спектральную
характеристику можно представить
состоящую из действительной и мнимой
частей:

(7)

где

(8)

(9)

Модуль и фаза
спектральной характеристики

определяется выражениями:

— функция четная;
(10)

— функция нечетная;
(11)

Комплексная форма
интегрального преобразования Фурье
легко приводится к тригонометрической:

;

тогда

(12)

Пример:

Определить спектр
дельта-функции.

Запишем выражение
для спектральной характеристики

дельта-функции:

С учетом того, что
с помощью дельта-функции можно выразить
значение реального сигнала

в конкретный момент времени

в виде:

,

будем иметь

,

откуда модуль
спектральной характеристики

Следовательно,
дельта-функции соответствует сплошной
равномерный спектр, включающий в себя
составляющие бесконечно больших частот.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
При

фазы всех составляющих равны нулю.

Пример.

Определить спектр
экспоненциального импульса.

;

;

Следствие.

Спектр функции
Хевисайда, для которой
,
неприменимо условие абсолютной
интегрируемости и, следовательно, к ней
нельзя применить преобразование Фурье.
Вместе с тем ее можно считать
экспоненциальной функцией. Тогда

Пример.

.

5.3. Спектры периодических негармонических сигналов. 5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий. Теория электрических цепей. Курс лекций

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5.3, а. Сигналы подобной формы находят очень широкое применение в радиотехнике и электросвязи: телеграфия, цифровые системы передачи, системы многоканальной связи с временным разделением каналов, различные импульсные и цифровые устройства и др. (см. гл. 19). Импульсная последовательность характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой импульса Aи , его длительностью tи и периодом следования Т. Отношение периода Т к длительности tи называется скважностью импульсов и обозначается через q = T/tи. Обычно значения скважности импульсов лежат в пределах от нескольких единиц (в измерительной технике, устройствах дискретной передачи и обработки информации), до нескольких сотен или тысяч (в радиолокации).Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Для нахождения спектра последовательности прямоугольных импульсов воспользуемся рядом Фурье в комплексной форме (5.6). Комплексная амплитуда k-й гармоники равна согласно (5.8) после возвращения к исходной переменной t.

(5.27)

Подставив значение Ak в уравнение (5.6), получим разложение в ряд Фурье: (5.28)

На рис. 5.4 изображен спектр комплексных амплитуд для q = 2 и q = 4. Как видно из рисунка, спектр последовательности прямоугольных импульсов представляет собой дискретный спектр с огибающей (штриховая линия на рис. 5.4), которая описывается функцией (5.29) носящей название функции отсчетов (см. гл. 19). Число спектральных линий между началом отсчета по оси частот и первым нулем огибающей равно q—1. Постоянная составляющая сигнала (среднее значение) , а действующее значение A = , т.е. чем больше скважность, тем меньше уровень постоянной составляющей и действующее значение сигнала. С увеличением скважности q число дискретных составляющих увеличивается — спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б), и амплитуда гармоник убывает медленнее. Следует подчеркнуть, что в соответствии с (5.27) спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов вещественный.

Из спектра комплексных амплитуд (5.27) можно выделить амплитудный Ak = |Ak| и фазовый спектр k = argAk, изображенный на рис. 5.5 для случая q = 4. Из рисунков видно, что амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты. Причем, фазы отдельных гармоник принимают либо нулевое значение между узлами, где синус положительный, либо ±, где синус отрицательный (рис. 5.5, б)

На основании формулы (5.28) получим тригонометрическую форму разложения в ряд Фурье по четным гармоникам (сравни с (5.15)): (5.30)

При сдвиге импульсной последовательности по оси времени (рис.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 5.2, б) в соответствии с (5.13) ее амплитудный спектр останется прежним, а фазовый спектр изменится: (5.31)

В случае, когда периодическая последовательность имеет разнополярную форму (см. рис. 5.1), в спектре будет отсутствовать постоянная составляющая (сравните (5.30) и (5.31) с (5.14) и (5.15)).

Аналогичным образом можно исследовать спектральный состав периодических негармонических сигналов другой формы. В табл.5.1 приведено разложение в ряд Фурье некоторых наиболее распространенных сигналов.

Таблица 5.1

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Спектральное представление колебаний

Спектральное представление периодических колебаний

При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с колебаниями, описываемыми периодическими функциями вида S(t) = S(t±kT), где k = 1, 2, …; Τ — период (рис. 2.9).

Зададим на отрезке полную систему тригонометрических ортогональных функций:

где ω1 = 2π / T — основная частота.

Выбор такого базиса наиболее распространен, так как в результате его использования обеспечиваются:
• сравнительная простота формирования гармонических колебаний;
• инвариантность сигналов относительно их преобразований в линейных электрических цепях (ЛЭЦ). При прохождении через ЛЭЦ изменяются только амплитуда и начальная фаза составляющих.

В этом случае для сигнала S(t) обобщенный ряд Фурье будет иметь вид
Здесь коэффициенты разложения
откуда видно, что периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний с частотами (Формула), которые являются кратными основной частоте.

Рис. 2.9. Пример периодической функции

Рис. 2.10. Амплитудная спектральная диаграмма периодического сигнала

Представим коэффициенты разложения в виде
где Ак — амплитуда; фк — начальная фаза.

Тогда ряд Фурье можно записать в другой эквивалентной форме:
Выражение (2.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 12) можно интерпретировать графически как сумму гармоник с частотами, кратными основной частоте f1 = 1 / T , амплитудами Аk и начальными фазами φk. При этом различают амплитудный и фазовый спектры.

Амплитудный спектр показан на рис. 2.10.

Рассмотрим теперь комплексную форму записи сигнала в виде ряда Фурье. В этом случае в качестве базисных функций применяются комплексные экспоненты:

где k = 0, ±1, ±2, …; j — мнимая единица.

Такая система также является полной.

Соответственно обобщенный ряд Фурье, известный как ряд Фурье в комплексной форме, приобретает следующий вид:
Здесь комплексная амплитуда k-й гармоники
связана с Аk, αk, bk, φk следующими выражениями:
Из этих выражений следует, что фазовый угол φk является нечетной функцией относительно k, т. е. относительно частоты, а модуль комплексной амплитуды Аk — четной.

Как видно из соотношения (2.13), суммирование распространено на положительные (k) и отрицательные (−k) частоты. Последние имеют фиктивный характер. Действительную составляющую (Формула) сигнала с частотой (Формула) получают как сумму двух комплексных функций:
т. е. происходит взаимное уничтожение мнимых частей.

Отметим также, что спектр периодического сигнала является дискретным и бесконечным. С увеличением периода следования сигналов разность частот между соседними гармониками уменьшается, т. е. спектр сгущается.

Из формул (2.11) и (2.14) видно, что изменение периода T сказывается на значении амплитуд спектральных составляющих: с увеличением Τ амплитуды уменьшаются. Однако форма спектра амплитуд при этом сохраняется.

Пример 2.3. Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой Е, длительностью (Формула) и периодом следования Т.

Итак, пусть
По формуле (2.14) находим
Комплексная амплитуда (Формула) пропорциональна функции вида (Формула) и содержит только вещественную часть, т. е.
Начальные фазы гармоник следующие: φ = 0, в интервалах частот (Формула), где n = 0, 2, 4, …

φk = ±π в интервалах частот (Формула), n = 1, 3, 5, …

С учетом этих соотношений ряд Фурье (2.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 13) для последовательности прямоугольных импульсов можно записать в виде
Пример 2.4. Периодическая последовательность двухполярных импульсов ±Е задана в виде
Представим S1(t) как результат суммирования однополярных импульсов с амплитудой 2Е и постоянной составляющей −Е, т. е. получим выражение
S1(t) = 2S(t) − E.

Подставив в это выражение S1(t) в виде (2.15), получим ряд Фурье для S1(t):

Спектральное представление непериодических колебаний

Рассмотренные ранее периодические сигналы на практике почти не встречаются. В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами и помехами, которые по существу являются непериодическими и к которым аппарат рядов Фурье не применим. Поэтому вместо них используют интегралы Фурье. Такое представление получают посредством перехода от ряда Фурье при стремлении периода повторения сигнала к бесконечности, т.е. T → ∞ или f1 = 1 / T = ω1 / (2π) → 0.

Рассмотрим вновь ряд Фурье в экспоненциальной форме:
где Δω = ω1 = [kω1 − (k − 1)ω1] — разность между частотами соседних гармоник, k = 1, 2, …

Определим комплексную спектральную плотность в виде

При Δω → 0 интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, поэтому сумму можно заменить интегралом:
Для нахождения комплексной спектральной плотности S(jω), или комплексного спектра, можно использовать выражение

которое следует из формулы (2.14) для комплексной амплитуды и отличается от нее только наличием множителя 2 / Т.

Выражения (2.17) и (2.18) имеют фундаментальное значение в ТЭС. Первое из них называется «обратным преобразованием Фурье» для сигнала S(t), или «операцией синтеза», поскольку с его помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Второе выражение называется «прямым преобразованием Фурье», или «операцией анализа» сигнала на основе определения его спектральных составляющих. В символической записи соответствие между сигналом S(t) и его преобразованием Фурье S(jω) отображается следующим образом: S(t) ⇄ S(jω).Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Таблица 2.1.

С учетом четности модуля S(ω) и нечетности фазы φ(ω) обратное преобразование Фурье (2.17) можно записать в виде.

В соответствии с выражением (2.17) и последней формулой непериодическое колебание S(t) можно рассматривать как сумму комплексных экспоненциальных составляющих или сумму гармонических составляющих , частоты которых располагаются бесконечно близко друг к другу. На основании этого можно говорить о непрерывном, или сплошном, спектре непериодического колебания.

Бесконечно малые амплитуды составляющих определяются выражением Am = с|S(jω)|dω, где (Формула) для формулы (2.17) или с учетом четности модуля S(ω), т.е. |S(jω)| отражает спектральную (частотную) плотность амплитуд составляющих. Другими словами, |S(jω)| — это амплитуда, отнесенная к бесконечно малой полосе частот dω.

Особенностью комплексного спектра является его распространение как в положительной, так и в отрицательной области частот. Следовательно, двум составляющим частот ω и −ω со спектральной плотностью комплексного спектра соответствует одна гармоническая составляющая частоты ω со спектральной плотностью |S(jω)|.

Сопоставив формулы (2.18) и (2.14) для непериодического колебания и периодического колебания, полученного из исходного непериодического сигнала посредством его периодического продолжения, можно сделать вывод о том, что спектры таких колебаний совпадают по форме и отличаются лишь масштабом.

В табл. 2.1 приведены результаты расчетов S(jω) для колебаний (импульсов) различной формы.

Спектром сигнала называется совокупность гармонических колебаний, из которых состоит сам сигнал

СПЕКТРАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике
(связь, навигация, телевидение,
радиолокация) при передаче информации
широко используются сигналы сложной
формы. Для анализа прохождения таких
сигналов через цепь действуют таким
способом: представляют
сложный сигнал в виде суммы гармоничных
колебаний и известным методом (например
метод комплексных амплитуд) анализируют
прохождение через цепь каждой гармоники.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
В соответствии с принципом суперпозиции
форма исходного сигнала определяется
как сумма исходных гармоник.

Представление
сложного сигнала в виде гармонических
колебаний поясняется
тем, что гармонический сигнал является
единственным сигналом, который при
прохождении через цепь не изменяет
своей формы. Изменяется только его
амплитуда и начальная фаза, что существенно
упрощает анализ прохождения сложных
сигналов.

Спектром сигнала
называется совокупность гармонических
колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более
строго, то существует два основных типа
спектров: амплитудночастотный
(амплитудный) и фазочастотный (фазовый)
спектр.

Амплитудным
спектром
называется
распределение амплитуд гармонических
составляющих по частоте.

Фазовым спектром
называется
распределение начальных фаз гармонических
составляющих по частоте.

Изображение
амплитудного и фазового спектра

Амплитудний
спектр

Амплитудный
спектр всегда положителен. Фазовый
спектр может быть как положительным,
так и отрицательным.

Спектр периодических
сигналов

Для спектрального
представления периодических колебаний
используется разложение этих колебаний
в тригонометрический ряд Фурье:


период периодического сигнала.

Спектр периодической
последовательности прямоугольных
видеоимпульсов

Согласно рисунку
функция

является чётной. Тогда в тригонометрической
форме записи ряда остаются только
косинусоидальные члены, потому что
коэффициенты

равняются нулю.

Определим величину
постоянной составляющей и амплитуды
гармоник

— скважность.
Таким образом

Амплитудный спектр

Поскольку
основная
часть энергии импульса сосредоточена
в области главного лепестка, то за ширину
спектра принимается ширина главного
лепестка

Теоретически спектр
простирается до бесконечности.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим
непериодический сигнал
,
заданный в виде некоторой функции,
отличающейся от нуля в промежутке
.
Дополним сигнал до периодического как
показан на рисунке.

Выделим произвольный
отрезок времени T,
что включает у себя промежуток
,
та представим заданий сигнал в виде
комплексного ряда Фурье


,

где


Коэффициенты

определяются выражением

Чтобы
перейти к одиночному импульсу, нужно
перейти к пределу при
.

Если

,
тогда

В
итоге получим

В

Прямое
преобразование

Фурье

еличина

называется
спектральной
плотностью
.

Физически
спектральная плотность характеризует
суммарную амплитуду колебаний единичной
области частот спектра сигнала, а
величина


характеризует суммарную амплитуду
колебаний области частот

.

Спектр
непериодического сигнала является
сплошным.

Зная
спектральную плотность, можно найти
форму сигнала

Т

Обратное
преобразование Фурье

аким образом

Свойства спектральной
плотности

Между сигналом

и его спектром

существует однозначное соответствие,
которое выражается рядом свойств.

1.
Модуль
спектральной плотности является чётной
функцией частоты, а аргумент — нечётной:

2.
Соотношение между спектрами периодического
и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал

и соответствующую ему спектральную
плотность
.
При следовании импульсов с периодом

интервал между соседними гармониками
составляет
.
Амплитуда
-ой
гармоники соответственно равна

Спектральная
плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Модуль спектральной плотности
непериодического сигнала (одиночного
импульса) и огибающая линейчатого
спектра периодического сигнала
(последовательности импульсов) совпадают
по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство
линейности.
Исходя
из того, что преобразование Фурье
является линейным, при сложении сигналов

и

которые имеют спектры

и
,
суммарный сигнал

будет иметь спектр

.

4. Сдвиг сигналов
по времени

(теорема запаздывания). Сигнал

произвольной формы имеет спектральную
плотность
.

При задержке этого
сигнала на время t0
(при сохранении его формы) получим новую
функцию
.
Определим спектральную плотность
сигнала

Введем новую
переменную
.
Тогда получим

Таким образом, сдвиг
по времени функции

на

приводит к изменению фазовой характеристики
спектра на величину
.
Модуль спектральной плотности от
положения сигнала на временной оси не
зависит.

5. Изменение
масштаба времени (теорема масштабов)
.
Сигнал

длительностью и
поддается
сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала

в

раз меньше чем

и равняется
.
Определим спектральную плотность
сжатого сигнала

Введем
новую переменную
тогда

или

.

При временном сжатии
сигнала в
раз
во столько же раз расширяется его
спектр.

6.
Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения)
.
Запишем спектральную плотность для
произведения сигналов

и
.
.

Таким
образом

Вывод.
Умножение функции

на колебание

эквивалентно разделению спектра

на две части, которые смещены соответственно
на

и
.

Данная
теорема позволяет по спектру видеосигнала
найти спектр радиосигнала (то есть
сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует,
что при значительной частоте заполнения
радиоимпульса 0
можно в области
положительных частот (отрицательных
не существует) пренебречь слагаемым
(1/2)(+0)
и определить
спектральную плотность по приближённой
формуле

7.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Распределение энергии в спектре
непериодического колебания

Энергия
импульса при его прохождении через
сопротивление

равняется

Равенство Парсеваля

Вывод:
квадрат модуля спектральной плотности
имеет смысл энергетической плотности,
то есть энергии, которая приходится на
единицу полосы частот [Дж/Гц].

8.
Свёртка
сигналов.
Пусть сигналам

отвечает спектральная плотность
.
То есть
.
Тогда произведению двух спектров

будет отвечать свёртка сигналов
:

Спектральные
плотности типовых импульсов

1.
Экспоненциальный импульс:

Импульс
такой формы возникает при грозових
разрядах,
в системах зажигания автомобилей.
Везде, где есть трущиеся контакты.

2.
Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр
находим из
спектра экспоненциального импульса
при
:

3.
Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся
формулой

Большая
часть энергии импульса сосредоточена
в области главного лепестка (более 90%).
Потому за ширину спектра принимается
ширина главного лепестка в положительной
области частот:

4.
Спектр единичного импульса (спектр
функции Дирака)

Функция
Дирака

Функция
Дирака представляет собой предел
последовательности прямоугольных
видеоимпульсов, при условии что площадь

а
длительность
.

Физически функция Дирака представляет
собой импульс конечной энергии с очень
малой длительностью и очень большой
амплитудой. С помощью данного импульса
описываются кратковременные сильные
влияния (удары).

Таким
образом

Вывод:
спектр единичного импульса является
постоянным и простирается до бесконечности.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

5.
Спектр импульса колокольной формы:


Особенность
данного импульса заключается в том, что
его форма совпадает с формой спектра.

6.
Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для
определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная
плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7.
Спектр периодической последовательности
прямоугольных радиоимпульсов

Для
нахождения спектра воспользуемся связью
между спектрами одиночного радиоимпульса
и периодической последовательности

Некоторые импульсы,
используемые в системах специальной
связи

8.
Спектр треугольного импульса

9.
Спектр трапецеидального импульса

Спектральная
плотность сигнала

Поскольку
трапецеидальный импульс является
результатом интегрирования импульса

,
то его спектральная плотность равна

Отсюда
находим модуль спектральной плотности

При

спектральная плотность равна площади
трапеции

.

Качественный
вид спектральной плотности на положительных
частотах:

Количество
боковых лепестков определяется
соотношением между

и
.
Чем меньше
,
то есть чем круче фронты типульса, тем
больше количество боковых лепестков в
области от 0 до
.
В пределе, когда крутизна фронтов
стремится к бесконечности

спектр трапеции переходит в спектр
прямоугольного импульса.

10.
Спектр
косинус-квадратного импульса

Для
определения спектральной плотности
воспользуемся преобразованием Лапласа.
Для этого введём две функции:

и
.

Пусть

.
Тогда в соответствии с теоремой
запаздывания

.
Поскольку косинус-квадратный импульс
равен

,
то его спектральная плотность

Воспользовавшись
формулой

,

получим

Данному
оригиналу соответствует изображение
по Лапласу

Далее
находим изображение спектральной
плотности косинус-квадратного импульса

.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Полагая
,
находим комплексную спектральную
плотность

Учитывая,
что

Окончательно
находим

Модуль
спектральной плотности

Это
следует из прямого преобразования
Фурье.

Качественный
вид спектральной плотности будет таким
же как и у прямоугольного видеоимпульса.
Только уровень боковых лепестков будет
существенно ниже.

11.
Спектр косинусоидального импульса

Определение
ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку
сигнал имеет оганиченную длительность,
то теоретически его спектр всегда
бесконечен. Поэтому на практике ширину
спектра сигнала определяют исходя из
области частот, в которой сконцентрирована
большая части энергии импульса (90%, 95%,
99%).

В
общем случае ширина спектра и длительность
импульса определяются из равенства
Парсеваля

Ширина
спектра

и длительность
импульса

(предполагается,
что импульс начинается с нулевого
момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра

и скорость убывания боковых лепестков


различных импульсов

Вид
импульса

Ширина
спектра

Скорость
убывания

Экспоненциальный

Прямоугольный

Колокольный

Треугольный

Трапецеидальный

(-
отношение верхнего
основания к нижнему)

Косинус-квадратный

Косинусоидальный

Теоретические основы радиотехники.

Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Часть 2

СОДЕРЖАНИЕ

Список условных обозначений

1. Радиотехнические сигналы
1.1. Cигналы
1.1.1. Определения: сигнал, сообщение, информация
1.1.2. Математическая модель сигнала
1.1.3. Физические характеристики сигналов
1.2. Основные радиотехнические процессы при передаче сигналов
1.2.1. Порядок обработки сигналов
1.2.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах
1.2.3. Влияние длины волны на функционирование радиоканала
1.3. Классификация сигналов
1.3.1. Классификация сигналов
1.3.2. Комплексные и вещественные сигналы
1.3.3. Одномерные и многомерные сигналы
1.3.4. Детерминированные и случайные сигналы
1.3.5. Непрерывные и импульсные сигналы
1.3.6. Аналоговые и дискретные сигналы
1.3.7. Периодические и непериодические сигналы
1.3.8. Узкополосные и широкополосные сигналы

2. Представление сигналов во временнóй области
2.1. Принципы динамического представления сигналов
2.1.1. Способы описания сигналов
2.1.2. Принципы динамического представления сигналов во временнóй области
2.2. Представление произвольного сигнала с помощью функции включения Хэвисайда
2.2.1. Понятие функции включения Хэвисайда
2.2.2. Представление произвольного сигнала с помощью функции включения Хэвисайда
2.3. Представление произвольного сигнала посредством дельта-функции
2.3.1. Понятие дельта-функции
2.3.2. Представление произвольного сигнала с помощью дельта-функции
2.3.3. Энергетические характеристики сигналов
2.4. Представление сигналов с помощью ортогональных функций
2.4.1. Ортогональные функции
2.4.2. Представление сигналов с помощью ортонормированных функций

3. Спектральный анализ сигналов
3.1. Спектральное представление сигналов
3.1.1. Представление сигналов на временнóй и частотной осях
3.1.2. Спектральное представление сигналов
3.2. Преобразование Фурье периодических сигналов
3.2.1. Периодическая функция (периодический сигнал)
3.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 2.2. Условия существования преобразования Фурье
3.2.3. Представление периодического сигнала рядом Фурье
3.2.4. Переход к комплексной форме ряда Фурье
3.2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала
3.3. Спектральное представление непериодических сигналов
3.3.1. Спектральная плотность непериодического сигнала
3.3.2. Физическая интерпретация спектральной плотности
3.3.3. Симметричные свойства амплитудного и фазового спектров
3.3.4. Сравнение спектров периодического и непериодического сигналов
3.4. Некоторые свойства интеграла Фурье
3.4.1. Комплекснозначность спектральной функции
3.4.2. Изменение пределов интегрирования
3.4.3. Свойства действительной и мнимой частей спектральной плотности
3.4.4. Спектры четных и нечетных функций
3.4.5. Теорема наложения (линейности)
3.4.6. Теорема запаздывания (смещения сигнала во времени)
3.4.7. Теорема смещения (переноса) спектра по частоте
3.4.8. Теорема об изменении масштаба времени (сжатие спектра)
3.4.9. Спектр производной сигнала
3.4.10. Спектр интеграла сигнала
3.4.11. Спектр скалярного произведения двух сигналов
3.4.12. Спектр произведения двух сигналов
3.4.13. Спектральная плотность свертки двух сигналов
3.4.14. Энергия непериодического сигнала
3.4.15. Симметрия аргументов t и ω
3.4.16. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса
3.4.17. Спектральная плотность δ-функции
3.4.18. Спектр сигналов в области низких частот
3.5. Спектры некоторых сигналов
3.5.1. Спектр последовательности прямоугольных видеоимпульсов
3.5.2. Спектр последовательности знакопеременных прямоугольных видеоимпульсов
3.5.3. Спектр последовательности треугольных видеоимпульсов
3.5.4. Спектр двух видеоимпульсов одной полярности
3.5.5. Спектр двух разнополярных видеоимпульсов
3.5.6. Спектр одиночного видеоимпульса sin c (x)
3.5.7. Спектр одиночного треугольного видеоимпульса
3.5.8. Спектр одиночного трапецеидального видеоимпульса
3.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 5.9. Спектр косинусоидального видеоимпульса
3.5.10. Спектр колоколообразного (Гауссова) видеоимпульса
3.5.11. Спектральная плотность функции включения
3.6. Спектры неинтегрируемых сигналов
3.6.1. Понятие спектра неинтегрируемых сигналов
3.6.2. Спектр постоянного напряжения
3.6.3. Спектр комплексного экспоненциального сигнала
3.6.4. Спектр гармонического колебания
3.6.5. Спектральная плотность радиоимпульса
3.6.6. Связь между спектром радиоимпульса и спектром его огибающей
3.6.7. Спектр промодулированного импульса
3.6.8. Спектр «обрывка» гармонического колебания («отрезка» синусоиды)
3.7. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра
3.7.1. Сущность вопроса
3.7.2. Общая закономерность
3.7.3. Определение длительности сигнала и ширины его спектра
3.8. Распределение энергии в спектрах одиночных видеоимпульсов
3.8.1. Расчетные соотношения
3.8.2. Расчет ширины первых лепестков спектра
3.8.3. Сравнение импульсов различной формы по энергиям в полосе частот первого лепестка
3.9. Преобразование Лапласа
3.9.1. Вводные замечания
3.9.2. Преобразование Лапласа
3.9.3. Условия существования изображения Лапласа
3.9.4. Преобразование Лапласа от производной сигнала по времени
3.9.5. Преобразование Лапласа для некоторых функций

4. Принципы корреляционного анализа. Энергетические спектры сигналов
4.1. Корреляционный анализ сигналов
4.1.1. Импульсные сигналы во временнóй области
4.1.2. Корреляционный анализ сигналов
4.2. Автокорреляционная функция
4.2.1. Автокорреляционная функция импульсных сигналов
4.2.2. АКФ прямоугольного видеоимпульса
4.2.3. АКФ пачки прямоугольных видеоимпульсов
4.2.4. АКФ треугольного видеоимпульса
4.2.5. АКФ экспоненциального видеоимпульса
4.2.6. АКФ гармонического колебания и периодической функции
4.2.7. АКФ прямоугольного радиоимпульса
4.2.8. Сравнение АКФ импульсного и периодического сигналов
4.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 3. Взаимная корреляционная функция
4.3.1. Взаимная корреляционная функция
4.3.2. ВКФ гармонических сигналов
4.4. Связь корреляционных функций с энергетическими спектрами сигналов
4.4.1. Энергетический спектр импульсного сигнала
4.4.2. Энергетический спектр периодического сигнала
4.4.3. Взаимный энергетический спектр двух сигналов
4.4.4. Связь АКФ с энергетическим спектром
4.4.5. Связь ВКФ с взаимным энергетическим спектром

5. Модулированные сигналы
5.1. Понятие несущей частоты и модуляции
5.1.1. Модуляция и демодуляция несущего колебания
5.1.2. Виды модуляции
5.1.3. Условия «медленности» модулирующих функций
5.2. Амплитудно-модулированные сигналы (амплитудно-модулированные колебания)
5.2.1. Понятия и определения
5.2.2. Спектральное представление АМК
5.2.3. Векторные диаграммы АМК
5.2.4. Автокорреляционная функция АМК
5.2.5. Энергетические характеристики АМК
5.2.6. Амплитудно-манипулированные сигналы
5.3. Сигналы с угловой модуляцией
5.3.1. Виды угловой модуляции
5.3.2. Сигналы с фазовой модуляцией
5.3.3. Сигналы с частотной модуляцией
5.3.4. Эквивалентность выражений для мгновенных значений ЧМК и ФМК
5.3.5. Сигналы с однотональной УМ
5.3.6. Сигналы с многотональной УМ
5.3.7. Спектральное представление сигналов с УМ
5.3.8. Спектры сигналов с однотональной УМ
5.3.9. Спектр колебаний с УМ при малых индексах модуляции
5.3.10. Спектр колебаний с УМ при больших индексах модуляции
5.4. Сигналы с внутриимпульсной частотной модуляцией
5.4.1. Принципы линейной частотной модуляции (ЛЧМ)
5.4.2. Спектр прямоугольного ЛЧМ-импульса
5.4.3. Автокорреляционная функция ЛЧМ-импульса

6. Сигналы с ограниченным спектром
6.1. Сигналы с ограниченным спектром
6.1.1. Характеристики сигналов, простые и сложные сигналы
6.1.2. Сигналы с ограниченным спектром
6.1.3. Примеры сигналов с ограниченным спектром. Радиотелеграфный сигнал азбуки Морзе
6.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 2. Теорема Котельникова
6.2.1. Теорема Котельникова и ее физический смысл
6.2.2. Обратная задача дискретизации
6.2.3. Теорема Котельникова
6.3. Узкополосные сигналы
6.3.1. Определение
6.3.2. Математическая модель узкополосного сигнала
6.3.3. Преобразование Гильберта и его свойства
6.3.4. Огибающая, полная фаза и мгновенная частота узкополосного сигнала
6.3.5. Комплексная огибающая узкополосного сигнала
6.3.6. Спектр комплексной огибающей
6.3.7. Преобразование Гильберта узкополосного сигнала
6.4. Аналитический сигнал
6.4.1. Определение
6.4.2. Основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей
6.4.3. Теорема Котельникова для узкополосного сигнала

7. Основы теории случайных сигналов
7.1. Элементы теории вероятностей
7.1.1. Случайные сигналы
7.1.2. Случайные события, вероятность события
7.1.3. Классификация случайных событий
7.1.4. Аксиомы теории вероятностей
7.1.5. Действия над вероятностями
7.2. Случайные величины и их характеристики
7.2.1. Случайная величина (СВ)
7.2.2. Вероятностные (статистические) характеристики СВ
7.2.3. Функции распределения вероятностей
7.2.4. Плотность вероятности
7.2.5. Многомерные функции распределения
7.2.6. Независимость случайных величин
7.2.7. Усреднение случайных величин и функций
7.2.8. Числовые (моментные) характеристики случайной величины
7.2.9. Дисперсия случайной величины
7.2.10. Моменты совокупности двух случайных величин
7.2.11. Некоторые законы распределения
7.2.12. Комплексная случайная величина
7.2.13. Центральная предельная теорема
7.3. Функции от случайных величин
7.3.1. Функции от случайных величин
7.3.2. Характеристическая функция
7.3.3. Преобразование одномерных функций распределения
7.3.4. Преобразование двухмерных функций распределения
7.3.5. Преобразование многомерных функций распределения
7.3.6. Среднее значение функции от случайных величин
7.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 3.7. Среднее значение и дисперсия суммы случайных величин
7.3.8. Функция распределения модуля и фазы случайного вектора
7.4. Случайные процессы
7.4.1. Сигналы как случайные процессы
7.4.2. Реализации, ансамбль реализаций, сечение ансамбля
7.4.3. Интегральные функции распределения
7.4.4. Плотность вероятности
7.4.5. Некоторые свойства вероятностных характеристик
7.4.6. Моментные и корреляционные функции случайных процессов
7.4.7. Классификация случайных процессов
7.4.8. Нормальные случайные процессы
7.5. Основы корреляционной теории стационарных случайных процессов
7.5.1. Корреляционная теория стационарных СП
7.5.2. Моментные и корреляционные функции стационарных СП
7.5.3. Некоторые свойства корреляционной функции
7.5.4. Теорема Винера – Хинчина
7.5.5. Интервал корреляции и эффективная ширина спектра
7.6. Аналитические случайные процессы
7.6.1. Комплексное представление СП
7.6.2. Некоторые свойства аналитических СП
7.6.3. Распределения огибающей и фазы аналитического СП
7.7. Некоторые примеры стационарных случайных процессов
7.7.1. Случайный модулированный сигнал
7.7.2. Квазибелый шум
7.7.3. Белый шум
7.7.4. Высокочастотный квазибелый шум
7.7.5. Гармонический процесс со случайной начальной фазой
7.8. Узкополосные стационарные случайные процессы
7.8.1. Определения
7.8.2. Некоторые примеры узкополосных СП
7.8.3. Математическая модель узкополосного СП
7.8.4. Статистическая задача описания узкополосного СП
7.8.5. Порядок решения задачи
7.8.6. Определение огибающей и фазы
7.8.7. Свойства сопряженного СП
7.8.8. Представление огибающей квадратурными составляющими
7.8.9. Распределение квадратурных составляющих
7.8.10. Совместное распределение огибающей и фазы
7.8.11. Одномерные плотности вероятности огибающей и фазы
7.8.12. Одномерное распределение фазы
7.8.13. Одномерное распределение огибающей
7.8.14. Огибающая и фаза суммы гармонического сигнала и шума
Список литературы

Спектры периодических сигналов — Студопедия

Наиболее просто можно определить спектр периодического сигнала.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Напомним, что периодическим называется сигнал Ф(t) (рис. 2.1), удовлетворяющий следующему условию:

Ф(t) = Ф(t + nT), где n – целое число, Т – период повторения.

Рис. 2.1. Периодический сигнал

Из курса математики известно, что всякую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье:

, (2.1)

где

, (2.2)

, (2.3)

.

Обычно используется более удобная форма записи ряда Фурье:

(2.4)

где .

Соответственно,

Сигнал в виде ряда Фурье удобно представить в виде спектральной диаграммы (рис. 2.2). Здесь каждая спектральная составляющая изображена вертикальной линией, высота которой пропорциональна амплитуде составляющей Ak, положение каждой составляющей на оси абсцисс определяется ее частотой kW. В случае необходимости рядом с каждой составляющей можно записывать значение фазы jk .

Рис. 2.2. Спектральная диаграмма периодического сигнала

Составляющая спектра с нулевой частотой называется постоянной составляющей; составляющая с частотой W (основной частотой) – первой гармоникой; составляющая с частотой 2W – второй гармоникой и так далее.

Ряд Фурье может быть записан в комплексной форме. Для этого в выражении (2.4) заменим косинус его представлением по формуле Эйлера:

.

В результате получим

.

Перейдем к комплексным амплитудам. Обозначим

– для положительных значений k ,

– для отрицательных значений k.

В результате получим окончательное выражение для ряда Фурье в комплексной форме:

(2.5)

Особенность ряда Фурье в комплексной форме состоит в том, что функция Ф(t) представлена в виде суммы составляющих вида ejkWt, причем каждому положительному значению k соответствует такое же по модулю отрицательное значение k. Линейная комбинация составляющих ejkWt и e-jkWt представляет собой гармонические функции cos(kWt) и sin(kWt), в соответствии с известными формулами Эйлера:

.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме также описывает разложение периодической функции на гармонические составляющие, только форма записи здесь иная.

Найдем выражение для определения комплексных амплитуд гармоник Ak. Для этого воспользуемся выражениями (2.2), (2.3):

(2.6)

Как будет видно из дальнейших примеров, комплексная форма ряда Фурье часто оказывается предпочтительной для вычисления спектров конкретных периодических сигналов.

Для удобства построения спектральной диаграммы вводится понятие огибающей спектра:

(2.7)

Чтобы построить спектральную диаграмму с помощью огибающей спектра, нужно сначала с помощью формулы (2.7) найти функцию (w), построить ее график, как показано на рис. 2.3, и затем расставить спектральные линии на расстоянии W = 2p/Т друг от друга.


Рассмотрим в качестве примера построение спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов, длительностью Ти и амплитудой Е (рис. 2.4).

Рис. 2.3. Использование огибающей спектра A(w) для построения
спектральной диаграммы

Рис. 2.4. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем огибающую спектра:

.

Для удобства построения графика огибающей спектра полученное выше выражение для (w) преобразуем к следующему виду:

. (2.8)

Огибающая спектра А(w) является вещественной функцией, ее график представлен на рис. 2.5 штриховой линией. Характерной точкой графика является значение частоты w, при котором огибающая спектра впервые обращается в нуль. Это происходит, когда аргумент синуса равен p и, следовательно, частота
w = 2p/Ти.

Рис. 2.5. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Подставив в (2.8) значение частоты первой гармоники W = 2p/Т, найдем амплитуду первой гармоники:

.

Аналогично для k-й гармоники

.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Величина постоянной составляющей А0/2 вычисляется отдельно по формуле

.

В нашем случае

Нетрудно видеть, что величина постоянной составляющей не равна значению огибающей спектра при w = 0, она выпадает из общей тенденции изменения амплитуд гармоник. Такая особенность спектра характерна для большинства периодических сигналов.

Необходимо отметить, что спектральное представление сигналов – не математическая абстракция, а отражение реально существующего явления. Если взять реальные гармонические сигналы с соответствующими амплитудами и фазами и сложить их, то в результате суммирования получится исходный сигнал, например, периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Это легче всего продемонстрировать на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой интервал между импульсами равен длительности импульсов, т. е. Т = 2Ти. Такой сигнал, изображенный на рис. 2.6, называется меандром. Найдем амплитуды основных гармонических составляющих меандра:

….

Рис. 2.6. Меандр

На рис. 2.7, а, б, в последовательно показаны постоянная составляющая плюс первая гармоника; сумма постоянной составляющей и первых трех гармоник; сумма постоянной составляющей и первых пяти гармоник. Хорошо видно, как с увеличением числа гармоник форма сигнала приближается к меандру.

Рис. 2.7. Представление меандра суммой постоянной составляющей и первой гармоники (а),

суммой постоянной составляющей и первых трех гармоник (б), суммой постоянной

составляющей и первых пяти гармоник (в)

Рассмотрим, как зависит характер спектра от параметров периодической последовательности импульсов. Если увеличить (или уменьшить) длительность импульсов Ти, то сожмется (или вытянется) по частоте огибающая спектра; положение спектральных линий при этом не изменится. Если же увеличивать расстояние между импульсами, т.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов е. период повторения Т, не изменяя размеров и формы каждого отдельного импульса, то расстояние между отдельными спектральными составляющими и их высота будут уменьшаться обратно пропорционально периоду повторения Т (рис. 2.8). Эту закономерность мы будем использовать в дальнейшем для определения спектров отдельных импульсов.

Рис. 2.8. Спектр периодического сигнала при увеличенном периоде повторения Т

Представление сигналов рядами Фурье. Понятие спектра.

Представление сигналов рядами Фурье. Понятие спектра.



Представление сигналов рядами Фурье



Оглавление



Для удобства и наглядности дальнейшего анализа воздействия фильтра на сигнал
в частотной области, представим сигнал в виде совокупности элементарных
гармонических сигналов. Гармоническим называют сигнал, описываемый синусоидальной
функцией:

S(t) = Amsin(wt +j),    (1)


где Am амплитудное значение сигнала, w
= 2pF — круговая частота, выражаемая в радианах,
F = 1/T — частота сигнала, Т — период следования, j
— начальная фаза сигнала.

Гармонический сигнал характерен тем, что он длится на неограниченном
интервале времени и не может быть разложен на элементарные составляющие.

Известно, что любой сложный периодический сигнал может быть представлен
в виде суммы элементарных гармонических сигналов с помощью рядов Фурье.
Это возможно, если функция, описывающая сигнал, отвечает условиям Дирихле:


  1. Функция непрерывна на отрезке разложения;


  2. В пределах периода T функция имеет конечное число максимумов и минимумов.

Пусть сигнал описывается функцией S(t), которая  имеет частоту w
= 2pF. Применяя разложение в ряд Фурье, получим:

,   (2)


где k = 1,2.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 3,… и т.д. — номера гармоник, а амплитуды разложения:
ао, аки bкопределяются из выражений:

,

,

.



Понятие спектра


Помимо формы (2) функцию S(t) можно представить в виде:

,   (3)
где: амплитуда A k и начальная фаза jk определяются из выражений:


Таким образом, периодическую функцию S(t) можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых является
синусоидальным колебанием с амплитудой A k и начальной фазой jk.


Каждая составляющая сигнала с частотой kw называется гармоникой.
Колебание с частотой w называется первой гармоникой, с частотой 2w —
второй гармоникой и т.п.


Совокупность амплитуд гармонических составляющих, представленная как функция частоты называется
амплитудным спектром сигнала (спектром амплитуд). Аналогично, совокупность значений
jk гармоник сигнала, представленная на интервале 0-360 град.,
называется спектром фаз.


Совокупность A k и jk полностью определяют
частотный спектр сигнала.

Спектр амплитуд и спектр фаз для периодического сигнала называют линейчатыми,
так как они состоят из отдельных составляющих. Например, для периодического
сигнала прямоугольной формы, показанного на рис.1,а спектр амплитуд имеет
вид, показанный на рис.1,б.

Рис.1



При уменьшении частоты периодического сигнала число гармонических составляющих
в его спектре будет соответственно возрастать, стремясь в пределе к бесконечности.
Такой спектр называется сплошным и получить его можно, используя не ряд,
а интеграл Фурье. Для одиночного прямоугольного импульса
имеем спектр, показанный на рис. 2,б.

Рис.2






Предыдущий


Следующий


Periodic Signal — обзор

Пример 5.

Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов 1-15

Рассмотрим T-периодические сигналы, x (t) ↔Xm и w (t) ↔Wm, где w (t) равно окну Хеннинга, определенному в Примере 5.1-13. Используйте свойство 7, чтобы вычислить коэффициент ряда Фурье y (t) = w (t) x (t). Объединение (5.1-74) и (5.1-75) в примере 5.1-13 дает коэффициенты ряда Фурье, Wm,

(5.1-102) Wm = {12m = 014m = ± 10 | m |> 1

Умножение свойство приводит к

(5.1-103) Ym = ∑n = −∞∞Wm − nXn = 14Xm − 1 + 12Xm + 14Xm + 1

Следовательно, умножение x (t) на окно Хэннинга эквивалентно 3- pt средневзвешенное значение коэффициента ряда Фурье.

Свойство 8 является следствием свойств умножения и сопряжения. Поскольку y¯ (t) ↔Y¯ − m, из свойства 7 следует

(5.1-104) 1T∫ − T / 2T / 2x (t) y¯ (t) e − im ω0tdt = ∑n = −∞∞XnY ¯n − m

Установка m = 0 приводит к теореме Парсеваля, которая устанавливает эквивалентность внутреннего произведения во временной области и внутреннего произведения коэффициентов Фурье. Если y (t) = x (t), мы получаем аналог теоремы Планшерала, известный как тождество Парсеваля,

(5.1-105) 1T∫ − T / 2T / 2 | x (t) | 2dt = ∑m = — ∞∞ | Xm | 2

Это приравнивает средний квадрат x (t) к сумме квадратов его коэффициентов Фурье.Мы будем называть периодические сигналы интегрируемыми с квадратом, если их средний квадрат за период конечен.

Подводя итог, интеграл ряда Фурье, уравнение. (5.1-66) связывает периодический сигнал x (t) с уникальной последовательностью его коэффициентов Фурье. Тождество Парсеваля подразумевает, что каждый квадратично интегрируемый периодический сигнал имеет коэффициенты Фурье, суммируемые с квадратом. Наоборот, уравнения. Из (5.1-105) и (5.1-65) следует, что любая суммируемая с квадратом последовательность {Xn} связана с уникальным интегрируемым с квадратом периодическим сигналом.Устанавливая эквивалентность скалярных произведений интегрируемых с квадратом периодических сигналов и суммируемых с квадратом последовательностей, теорема Парсеваля утверждает, что геометрия этих двух пространств одинакова, то есть они изометричны.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Набор всех квадратично интегрируемых периодических сигналов с периодом T образует линейное векторное пространство, известное как гильбертово пространство. Гильбертовые пространства — это бесконечномерные обобщения конечномерных векторных пространств со скалярными произведениями, которые определяют их геометрию.Гильбертово пространство H обладает бесконечным ортонормированным базисом {um} m = 1∞, так что каждый вектор x∈H может быть представлен суммой базисных векторов

(5.1-106) x = ∑m = 1∞ξmunandξm = 〈x, um〉

Скаляры, ξm, являются координатами x относительно базиса. Ортонормированность базисных векторов означает, что попарные скалярные произведения удовлетворяют

(5.1-107) 〈um, un〉 = {1m = n0m ≠ n

. Рассмотрим векторы x и y с координатами ξm и ηm соответственно. Тогда ортонормированность означает, что

(5.1-108) 〈x, y〉 = ∑m = 1∞ξmη¯m

Следовательно, если x = y, получаем

(5.1-109) ‖x‖2 = 〈x, x〉 = ∑m = 1∞ | ξm | 2

В контексте периодических сигналов, интегрируемых с квадратом, и рядов Фурье, ортонормированный базис равен {eim ω0t} m = −∞∞, а скалярное произведение двух сигналов, x (t) и y (t), определяется как

(5.1-110) 〈x, y〉 = 1T∫ − T / 2T / 2x (t) y¯ (t) dt

Следовательно, коэффициенты ряда Фурье — это просто координаты периодического сигнала относительно орторнормального базиса, а ряд Фурье является представлением сигнала относительно этого базиса.Также обратите внимание, что в условиях гильбертова пространства теорема и тождество Парсеваля являются непосредственными следствиями (5.1-108) и (5.1-109) соответственно. Дополнительные сведения о гильбертовых пространствах см. В Reed and Simon, 1980; Рудин, 1973.

Пусть x (t) будет периодическим сигналом с периодом, равным T. Мы исследуем связь между коэффициентом ряда Фурье x (t) и его преобразованием Фурье. Прежде всего отметим, что периодическая функция не является абсолютно интегрируемой, следовательно, ее преобразование Фурье определяется в смысле распределения, как мы обсуждали в предыдущем разделе.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Начнем с представления x (t) как репликации периода T (Бриггс и Хенсон, 1995) базового сигнала, x0 (t),

(5.1-111) x (t) = ℜT {x0 (t)} = ∑n = −∞∞x0 (t + nT)

Мы часто будем называть ℜ {x0 (t)} T-репликацией x0 (t). Обратите внимание, что операция T-репликации производит сигнал, который является периодическим с периодом, равным T. Мы будем предполагать, что x0 (t) достаточно уменьшается при t → ± ∞, так что бесконечная сумма сходится. Обратите внимание, что x0 (t) не уникален. Например, рассмотрим функции y (t) и z (t),

(5.1-112) y (t) = {x (t) 0

Тогда мы могли бы определить x0 (t) как T-репликацию либо y (t), либо z (t).

Затем мы устанавливаем связь между коэффициентом ряда Фурье x (t) и преобразованием Фурье x0 (t), т. Е.

(5.1-113) Xm = 1T∫ − T / 2T / 2x (t) e − im ω0tdt, ω0 = 2πT = 1T∫ − T / 2T / 2 (∑n = −∞∞x0 (t + nT)) e − im ω0tdt = 1T∑n = −∞∞∫ − T / 2T / 2×0 (t + nT) e − im ω0tdt = 1T∑n = −∞∞eim ω0 (nT) ∫nT − T / 2nT + T / 2×0 (τ) e − im ω0τdτ = 1T∑n = −∞∞∫nT− T / 2nT + T / 2×0 (τ) e − im ω0τdτ = 1T∫ − ∞∞x0 (τ) e − im ω0τdτ = X0 (mω0) T

Это замечательный результат, учитывая, что базовых сигналов бесконечно много что может дать такую ​​же Т-репликацию.Предположим, что x0 (t) иy0 (t) — два разных базовых сигнала с равными T-репликациями,

(5.1-114) x (t) = ∑n = −∞∞x0 (t + nT) = ∑n = −∞ ∞y0 (t + nT)

Поскольку x0 (t) ≠ y0 (t), их преобразования Фурье также не равны, т. Е. X0 (ω) ≠ Y0 (ω). Уравнение Из (5.1-113) следует, что, поскольку x0 (t) и y0 (t) имеют одинаковую Т-репликацию, их преобразования Фурье, хотя и разные, должны быть одинаковыми на дискретных частотах, ωm = mω0.

Ур. (5.1-113) и разложение x (t) в ряд Фурье приводят нас к следующей интересной теореме:

Теорема 5.7 (обратная формула суммирования Пуассона) Предположим, что для сигнала с непрерывным временем x0 (t), ℜT {x0 (t)} сходится и является конечным.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Пусть ω0 = 2π / T, тогда

(5.1-115) ℜT {x0 (t)} = 1T∑m = −∞∞X0 (mω0) eim ω0t

Приведенная выше теорема утверждает, что дискретное обратное преобразование Фурье X0 (ω) дает T-репликацию x0 (t). Мы обсудим двойную версию теоремы 5.7 в следующем разделе, посвященном дискретизации во временной области. Из пары преобразований Фурье eim ω0t↔2π δ (ω − mω0) и (5.1-115) следует, что x (t) имеет преобразование Фурье,

(5.1-116) ℜT {x0 (t)} = 1T∑m = −∞∞X0 (mω0) eim ω0t↔ω0∑m = −∞∞X0 (mω0) δ (ω − mω0)

Следовательно, уравнения. (5.1-115) и (5.1-116) приводят к

(5.1-117) ℜT {x0 (t)} = ∑n = −∞∞x0 (t + nT) ↔ω0∑m = −∞∞X0 ( mω0) δ (ω − mω0)

То есть репликация во временной области эквивалентна выборке преобразования Фурье в частотной области, где X0 (mω0) — выборочные значения X0 (ω).

| Связь между спектром периодического сигнала и …

Context 1

… периодического сигнала полностью характеризуется одним циклом.На рисунке 5 показан анализ Фурье периодического сигнала (включая несколько циклов) и анализ Фурье одного цикла. Все ненулевые значения в спектре периодического сигнала захватываются спектром одного цикла. …

Контекст 2

… линейная инвариантная во времени теория, каждый цикл нейронной реакции, то есть реакция, связанная с событием, является свойством нейронной системы, а периодичность — свойством стимула. Если реакция, связанная с событием, снижается до исходного уровня в течение каждого цикла стимула, спектральная огибающая периодической нейронной реакции определяется спектром реакции, связанной с событием (рис. 5).Этот вывод, однако, справедлив и в том случае, если реакция, связанная с событием, не возвращается к исходному уровню при появлении следующего стимула по причинам, которые не будут уточняться 2. …

Контекст 3

… На рисунке 6 мы проиллюстрировали, как спектр отдельного события, связанного с событием, и частота повторения стимула совместно определяют спектр нейронных ответов в соответствии с линейной теорией инвариантных во времени систем.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов В этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет наибольшую мощность в тета 1. На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставляются между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (i .е. частоты, обозначенные значком x на рисунке 5A). В общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A. …

Контекст 4

… На рисунке 6 мы проиллюстрировали, как спектр отдельного события, связанного с событием, и частота повторения стимула совместно определяют спектр нейронных ответов в рамках линейной теории инвариантных во времени систем. В этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет наибольшую мощность в тета 1. На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставляются между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (i .е. частоты, обозначенные значком x на рисунке 5A). В общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A. …

Контекст 5

… На рисунке 6 мы проиллюстрировали, как спектр отдельного события, связанного с событием, и частота повторения стимула совместно определяют спектр нейронных ответов в рамках линейной теории инвариантных во времени систем. В этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет наибольшую мощность в тета 1. На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставляются между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (i .е. частоты, обозначенные значком x на рисунке 5A). В общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A. …

Context 6

… в этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет самую высокую мощность в тета 1. На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставлен между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (т.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов е. частотами, показанными осью на рисунке 5A).В общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A. Если сигнал действительно периодический и бесконечен по длительности, спектр будет непрерывным и равен нулю на любой частоте, кроме частот, разрешенных на рисунке 5A. 2 Для линейных систем, не зависящих от времени, нейронный ответ — это стимул, свертывающий реакцию, связанную с событием. …

Контекст 7

… в общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A.Если сигнал действительно периодический и бесконечен по длительности, спектр будет непрерывным и равен нулю на любой частоте, кроме частот, разрешенных на рисунке 5A. 2 Для линейных систем, не зависящих от времени, нейронный ответ — это стимул, свертывающий реакцию, связанную с событием. …

Границы | Интерпретации частотного анализа нейронного увлечения: периодичность, основная частота и гармоники

Введение

Корковая активность, измеренная с помощью электроэнцефалографии (ЭЭГ), магнитоэнцефалографии (МЭГ) или регистрации потенциала местного поля (LFP), может синхронизироваться с ритмом сенсорного стимула.Например, когда интенсивность звука, например чистого тона, колеблется на заданной частоте (f Гц), часто наблюдается нейронный отклик на этой частоте (f Гц), который называется слуховой реакцией устойчивого состояния ( aSSR; Galambos et al., 1981; Ross et al., 2000; Wang et al., 2012). Точно так же, когда яркость зрительного стимула, например, пятна Габора, колеблется на частоте f Гц, также может наблюдаться нервный ответ на частоте f Гц, который называется устойчивым визуальным вызванным ответом (SSVEP; Norcia et al., 2015). В последнее время низкочастотное (<3 Гц) нейронное вовлечение также наблюдалось для абстрактных свойств стимула, таких как ритмы музыкальных ударов и языковых составляющих (Buiatti et al., 2009; Nozaradan et al.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов , 2011; Ding et al., 2016) и во время обработки естественной речи или фильмов (Ding and Simon, 2012; Zion Golumbic et al., 2013; Koskinen, Seppä, 2014; Lankinen et al., 2014). Была выдвинута гипотеза, что низкочастотная нейронная синхронизация со стимулом обеспечивает механизм избирательного внимания и временной интеграции информации (Schroeder et al., 2008; Шредер и Лакатос, 2009; Giraud and Poeppel, 2012) и важен для анализа временной структуры речи и музыки (Nozaradan et al., 2011; Ding et al., 2016).

Нейронное увлечение ритмами стимула часто анализируется в частотной области, тогда как традиционные нейрофизиологические реакции, например, реакции, связанные с событием, обычно анализируются во временной области. Поэтому некоторые измерения в частотной области могут показаться неинтуитивными для исследователей, в основном использующих методы анализа во временной области.Например, когда ритм стимула находится на частоте f Гц, нейронные реакции часто можно наблюдать не только на f, но и на его гармониках, то есть на 2f, 3f, 4f и т. Д. Гармоники могут дать дополнительное представление о лежащих в основе механизмах нейронного кодирования. (O’connell et al., 2015), но их интерпретация непроста. В этой статье мы объясняем, как эти гармоники связаны с сигналами во временной области. Мы ограничиваем метод анализа частотной области дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), наиболее классическим методом анализа частотной области.Мы подробно рассмотрим, как свойства сигнала представлены через призму ДПФ, и не будем обсуждать, является ли ДПФ лучшим методом для представления конкретного сигнала.

Статья организована следующим образом: сначала мы представляем примеры, которые описывают взаимосвязь между периодичностью сигнала во временной области и спектром сигнала. Поскольку остается спорным вопрос о том, отражает ли экспериментально наблюдаемое нейронное отслеживание таких низкочастотных ритмов стимулов последовательность связанных с событием реакций или надлежащее вовлечение нейронных осцилляторов (Ding and Simon, 2014; Keitel et al.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов , 2014). Мы также описываем, как интерпретировать спектр мощности серии реакций, связанных с событием. Эти обсуждения основаны исключительно на интуитивных примерах, избегая более формальной математической обработки (формальную трактовку см., Например, в Oppenheim et al., 1989). Глоссарий представлен в таблице 1.

Таблица 1. Глоссарий.

Периодичность сигнала и спектр Фурье

Здесь мы рассмотрим сигнал с периодом T. Другими словами, сигнал повторяется каждые T секунд.Преобразование Фурье анализирует частотный состав сигнала, разлагая его на синусоиды на разных частотах. Сигнал с периодом T повторяется со скоростью f 0 = 1 / T, которая называется основной частотой сигнала. Обычно интуитивно понятно, что спектр Фурье такого сигнала показывает сильную мощность при f 0 . Другими словами, сигнал хорошо объясняется синусоидой на частоте f 0 . Иногда ответ при f 0 может быть единственным компонентом в спектре Фурье, указывая на то, что сигнал является синусоидой.Рисунок 1 иллюстрирует это состояние.

Рис. 1. Синусоида с частотой 1 Гц. В спектре мощность сигнала концентрируется на частоте 1 Гц. Здесь мы сосредотачиваемся только на форме волны нервного отклика, а не на ее масштабе. Следовательно, амплитуда измеряется произвольной единицей (а.е.).

Синусоиды, конечно, являются математическими абстракциями, и в реальном мире очень немногие сигналы являются точно синусоидальными. Когда сигнал отклоняется от синусоиды, его спектр Фурье будет иметь мощность не только при f 0 , но и при кратных f 0 , e.g., 2f 0 , 3f 0 , 4f 0 и т. д. На рисунке 2 показано одно из таких условий, при котором короткий двухфазный сигнал длительностью 200 мс повторяется каждые 1 с. На этом рисунке двухфазный сигнал представляет собой один цикл синусоиды 5 Гц, в то время как сигнал повторяется с частотой 1 Гц (т.е. f 0 = 1 Гц).Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Спектр мощности этого сигнала распространяется на несколько частот, например, f 0 , 2f 0 , 3f 0 , 4f 0 … Самая большая мощность в спектре Фурье появляется на 4f 0 вместо ф 0 .Этот сигнал можно рассматривать как грубое моделирование последовательности переходных реакций, связанных с событием.

Рис. 2. Один цикл синусоиды 5 Гц, повторяющийся каждые 1 с. Спектр сигнала показывает мощность на нескольких частотах, как на основной частоте, то есть на 1 Гц, так и на гармониках, то есть кратных 1 Гц. Наибольшая мощность проявляется на 4-й гармонике, а не на основной частоте.

На рисунке 2 показано, что сигнал с периодом T может иметь разброс мощности по f 0 и его гармоникам.Далее мы показываем дополнительный пример, в котором нет мощности даже при f 0 . В этом примере (рисунок 3) синусоида с частотой 10 Гц модулируется по амплитуде с частотой 1 Гц. Амплитудная модуляция включает произведение двух сигналов. Быстрый сигнал называется несущей, а медленный — огибающей. Как правило, огибающая фиксирует колебания мощности сигнала во времени. На рисунке 3 модулированный сигнал является произведением синусоиды 20 Гц и синусоиды 1 Гц. Амплитудно-модулированный сигнал имеет период 1 с, как видно из его формы волны.Тем не менее, спектр Фурье не показывает мощности на частоте 1 Гц. В этом примере сигнал огибающей является синусоидой, если сигнал не является синусоидой, дополнительные отклики будут видны на 20 ± 2 Гц, 20 ± 3 Гц… поверх откликов на 20 Гц и 20 ± 1 Гц.

Рис. 3. Синусоидальная синусоида с частотой 20 Гц, модулированная по амплитуде с частотой 1 Гц. Пунктирная черная кривая показывает огибающую, а серая кривая показывает форму волны. Огибающая 1 Гц накладывает четкий ритм 1 Гц на то, как мощность сигнала колеблется во времени.Однако спектр модулированного сигнала показывает не мощность на частоте 1 Гц, а мощность на частоте 20 Гц и 20 ± 1 Гц.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пример на рисунке 3 также представляет более общие случаи, в которых периодичность сигнала возникает в области модуляции, то есть в огибающей сигнала. На рисунке 4 несущая представляет собой белый шум с ограниченной полосой частот между 70 и 200 Гц, в то время как сигнал огибающей остается синусоидой 1 Гц. Визуальный осмотр формы сигнала позволяет предположить наличие сильного ритма с частотой 1 Гц, в то время как в спектре не может быть обнаружено никакой информации с частотой 1 Гц.В этом случае кажущаяся периодичность 1 Гц существует только в огибающей сигнала и может быть обнаружена только после извлечения самого сигнала огибающей. Фурье-анализ огибающей сводится к состоянию, показанному на рисунке 1. Этот пример можно рассматривать как моделирование нейронной активности с высоким уровнем гамма-излучения, отслеживающей ритм с частотой 1 Гц. Огибающая сигнала может быть извлечена либо явно, используя, например, преобразование Гильберта, либо неявно с помощью частотно-временного анализа, такого как краткосрочное преобразование Фурье (STFT) или вейвлет-преобразование.Одна интерпретация спектрограммы, полученной с помощью STFT или вейвлет-анализа, заключается в том, что входной сигнал фильтруется в узкие полосы частот, и в каждой полосе выделяется огибающая мощности сигнала (Vaidyanathan, 1990). Следовательно, периодичность в области модуляции может быть выявлена ​​путем анализа динамики STFT или вейвлет-спектрограммы.

Рис. 4. Широкополосный шум между 70 и 200 Гц модулируется по амплитуде с частотой 1 Гц. Пунктирная черная кривая показывает огибающую, а серая кривая показывает форму волны.Огибающая 1 Гц накладывает четкий ритм 1 Гц на то, как мощность сигнала колеблется во времени. Однако спектр модулированного сигнала не показывает мощности на частоте 1 Гц.

Таким образом, мы показываем здесь, что если период сигнала равен T, спектр ДПФ сигнала может отображать мощность при f 0 и его гармонически связанных частотах.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Важно отметить, что мощность при f 0 может быть не самой высокой (Рисунок 2) и может даже не существовать (Рисунок 3). Более того, даже когда сигнал является периодическим, он может демонстрировать регулярность более высокого порядка, включая периодичность в его огибающей (рисунок 4).

Факторы, влияющие на мощность на гармонической частоте

В предыдущем разделе показано, что нейронный сигнал, повторяющийся каждые T секунд, представлен в частотной области гармонически связанными частотами в f 0 , 2f 0 , 3f 0 , 4f 0 … В этом разделе мы обсуждаем более подробно о том, какие факторы определяют мощность на каждой частоте. Периодический сигнал полностью характеризуется одним циклом. На рисунке 5 показан анализ Фурье периодического сигнала (включая несколько циклов) и анализ Фурье одного цикла.Все ненулевые значения в спектре периодического сигнала захватываются спектром одного цикла. Спектр периодического сигнала можно получить, вставив нули в спектр одного цикла. Спектр периодического сигнала может иметь ненулевые значения только на основной частоте и ее гармониках, а спектр одного цикла принимает значения только на этих частотах. В общем, ненулевые значения в спектре периодического сигнала определяются формой сигнала одного цикла, в то время как частоты, на которых спектр показывает ненулевые значения, определяются его периодом.Другими словами, спектр одного цикла представляет собой спектральную огибающую спектра периодического сигнала.

Рисунок 5. Связь между спектром периодического сигнала и спектром одного цикла. (A) Форма волны и спектр одного периода сигнала, которые можно рассматривать как имитацию реакции, связанной с событием. Измерение сигнала длится 1 с, тогда как сигнал колеблется всего около 300 мс. Когда измерение сигнала составляет 1 с, в спектре отображаются только дискретные значения с частотой 1 Гц и его гармоники, отмеченные крестиком.Однако принято соединять дискретные значения в виде кривой, показанной пунктирной кривой.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (B) Когда сигнал в (A) повторяется каждые 1 с, создается периодический сигнал. На рисунке показано 3-секундное измерение периодического сигнала, которое включает три цикла сигнала. Спектр этого сигнала показывает дискретные значения на 1/3 Гц и его гармоники. Однако мощность равна нулю на частотах, которые не являются гармониками 1 Гц, то есть основной частотой сигнала. Спектр в (A) воспроизводится в (B) красным цветом.Ясно, что спектр в (A) является огибающей спектра сигнала в (B).

На основании анализа выше, когда форма волны одного цикла содержит «быстрые» колебания или «резкие» края, сигнал будет иметь высокую мощность на высокочастотных гармониках. Здесь «быстрые» колебания означают колебания на частотах, намного превышающих основную частоту периодического сигнала (рис. 3). «Острые» края означают, что фронты нарастают / затухают быстрее по сравнению с тем, насколько быстро синусоида при f 0 нарастает или затухает.Мощность периодического сигнала будет концентрироваться на f 0 , только если частота стимула соответствует спектральному резонансу, то есть временным масштабам, ответа в одном цикле стимула (подробности см. В следующем разделе и на рисунке 6). Следовательно, нейронный пик на f 0 Гц в спектре Фурье не только указывает на повторение нейронной формы волны на f 0 Гц, но также указывает, что повторяющаяся форма волны представляет собой примерно цикл синусоиды af 0 Гц. .

Рисунок 6.Ответ, связанный с событием, повторяется с разной скоростью. Рисунки на левой панели показывают форму волны отклика, а рисунки на правой панели показывают спектр отклика. На рисунках левой панели каждая красная точка обозначает сенсорное событие. (A) Ответ, связанный с одним событием, мощность которого сосредоточена в тета-диапазоне (4–8 Гц). (B) Ответы на сенсорные события, повторяющиеся с разной скоростью. Когда частота стимулов намного ниже тета-диапазона, например, при 1 Гц, существует небольшое перекрытие между ответами на различные сенсорные события.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов В спектре мощность отклика мала и распределена по ряду гармонически связанных частот. Когда стимул находится в пределах тета-диапазона, например, 4 и 6 Гц, ответы на различные сенсорные события перекрываются. В спектре наблюдается сильная реакция на основной частоте ритма стимула, а также на второй гармонике, если она попадает в диапазон резонансных частот реакции, связанной с событием. Если частота стимула очень высока, четкая реакция появляется только в начале стимула.

Фурье-анализ серии ответов, связанных с событием

В этом разделе мы описываем представление в частотной области периодического нейронного отклика, состоящего из серии дискретных устойчивых откликов, связанных с событием. В частности, сенсорный стимул представляет собой последовательность периодически происходящих событий, и каждое событие моделируется как импульс, который можно рассматривать как приближение короткого звукового сигнала или короткой вспышки света. Мы предполагаем, что, когда нейронный ответ достигает устойчивого состояния, связанный с событием ответ на каждое сенсорное событие идентичен (неизменность во времени), а измеренный нервный ответ представляет собой линейную суперпозицию различных связанных с событием ответов (линейность).При этих предположениях нейронная сеть, генерирующая измеренный нейронный отклик, может быть смоделирована линейной неизменной во времени системой (Oppenheim et al., 1989). Из этого следует, что внутренние свойства нейронной сети полностью характеризуются импульсной характеристикой, то есть реакцией, связанной с событием.

Согласно линейной теории инварианта во времени, каждый цикл нейронной реакции, то есть реакции, связанной с событием, является свойством нейронной системы, а периодичность — свойством стимула.Если реакция, связанная с событием, снижается до исходного уровня в течение каждого цикла стимула, спектральная огибающая периодической нейронной реакции определяется спектром реакции, связанной с событием (рис. 5). Этот вывод, однако, справедлив и в том случае, если реакция, связанная с событием, не возвращается к исходному уровню при появлении следующего стимула по причинам, которые не будут уточняться.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Кроме того, линейная модель инвариантной во времени системы также применима к апериодическим стимулам и к постоянно меняющимся стимулам. В этой статье, однако, рассматривается только реакция на периодические сенсорные сигналы.

На рисунке 6 мы проиллюстрировали, как спектр отдельного события, связанного с событием, и частота повторения стимула совместно определяют спектр нейронных ответов в соответствии с теорией линейных систем, не зависящих от времени. В этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет наибольшую мощность в тета-диапазоне (4–8 Гц), а стимул представляет собой последовательность импульсов, то есть очень короткие сенсорные события. Произвольно выбирается диапазон резонансных частот нейронной системы, т. Е. Тета-диапазон.Когда частота стимула ниже диапазона резонансных частот, отклик слабый и показывает мощность на высокочастотных гармониках (например, условие 1 Гц на рисунке 6B). Когда частота стимула находится в диапазоне резонансных частот, сильная реакция наблюдается при f 0 , а также гармонические частоты, попадающие в диапазон резонансных частот (например, условия 4 и 6 Гц на рисунке 6B). Наконец, если частота стимула выше диапазона резонансных частот, реакция в установившемся режиме будет очень слабой (например,g., условие 12 Гц на рисунке 6B). Следовательно, если сильное нейронное увлечение наблюдается на f 0 , а не на какой-либо гармонической частоте, это означает, что f 0 находится в пределах диапазона резонансной частоты, а 2f 0 — вне этого диапазона.

Что требует дополнительных объяснений, так это то, почему реакция такая слабая на любой частоте при низкой скорости стимула (рис. 6А). Когда частота стимула ниже диапазона резонансных частот, нейронная система без труда реагирует на каждое событие стимула.Причина слабой реакции двоякая. Во-первых, реакция отклоняется от базовой линии только в течение короткого периода времени после каждого стимулирующего события, что делает общую мощность ответа, то есть мощность, суммированную во времени, очень низкой.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Во-вторых, мощность в частотной области распределяется по нескольким частотам гармоник, что делает отклик на каждой отдельной частоте еще слабее.

В приведенном выше обсуждении мы рассматриваем только нейронные реакции на последовательность кратковременных сенсорных событий. Тем не менее многие сенсорные стимулы, такие как речь и музыка, постоянно меняются.Как нейронная активность следует за постоянно меняющимся стимулом, все еще остается нерешенным вопросом исследования (см. Обзор в Ding and Simon, 2014). Одна из гипотез состоит в том, что реакция все еще запускается дискретными сенсорными или перцептивными событиями, например, акустическими границами или началом слога / предложения, и в этом случае вышеупомянутое обсуждение все еще актуально. Другая гипотеза, однако, заключается в том, что реакция непрерывно следует за стимулом. Согласно этой гипотезе, для линейной системы, не зависящей от времени, ответ — это непрерывно изменяющаяся характеристика стимула, связанная с реакцией, связанной с событием.Если характеристика стимула изменяется плавно, например, синусоидально, его мощность будет концентрироваться на основной частоте. В этом случае мощность отклика также будет сосредоточена на основной частоте, и любой отклик на частотах гармоник будет отражать нелинейную нейронную обработку.

Интерпретация низкочастотного нейронного вовлечения

Когда ответ показывает сильную мощность при f 0 , это указывает на «базовые» колебания в течение каждого периода стимула. Например, когда f 0 ниже 1 Гц и сильный нейронный ответ наблюдается при f 0 , это указывает на медленный дрейф «базовой линии» ответа в течение временного интервала, сравнимого с продолжительностью цикла стимула.Если ответ является «локальным», то есть длится более короткое время, чем цикл стимула, он вряд ли может способствовать нейронному отслеживанию на основной частоте (рисунок 6, условие 1 Гц). Например, слуховой вызванный ответ со средней задержкой длится менее 100 мс.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Если этот ответ повторяется каждые 1 с, он вряд ли может способствовать увлечению нейронов частотой 1 Гц. Очень низкочастотное (например, <1 Гц) нейронное отслеживание указывает на длительные и медленно меняющиеся реакции. Фактически, его основная особенность - медленность низкочастотного увлечения.Ключевая гипотеза относительно низкочастотного нейронного вовлечения заключается в том, что нейронный ответ не возвращается к исходному уровню, когда приходит следующий стимул, и этот «дрейф базовой линии» обеспечивает контекст для обработки следующего стимула (Schroeder et al., 2008; Schroeder и Lakatos, 2009).

Низкочастотное нейронное вовлечение во время обработки речи, музыки и слуха

Низкочастотное нейронное увлечение часто наблюдается при обработке речи и музыки. При прослушивании речевых материалов на уровне дискурса вовлечение нейронов достоверно наблюдается в дельта-диапазоне (> 4 Гц), включая частотный диапазон около или ниже 1 Гц (Ding and Simon, 2012; Zion Golumbic et al., 2013; Коскинен и Сеппа, 2014; Ланкинен и др., 2014). Далее показано, что нейронное вовлечение в дельта-полосу отражает не только нейронное кодирование акустических характеристик, но также нейронное кодирование синтаксических структур (Ding et al., 2016). Подобное нейронное увлечение дельта-полосы наблюдается во время обработки музыки. В частности, было показано, что нейронная активность может следовать ритму музыкального ритма и размера (Nozaradan et al., 2011, 2012; Sturm et al., 2014; Tierney, Kraus, 2014).Эти результаты предполагают, что низкочастотное нейронное вовлечение может играть роль в разборе временной структуры речи и музыки, формируя фрагменты фразового уровня.

С другой стороны, хотя очень низкочастотное нейронное вовлечение достоверно наблюдается во время обработки речи и музыки, это вовсе не универсальное явление при обработке произвольных слуховых стимулов, даже с очень низкочастотным акустическим ритмом (Lakatos et al., 2013; Doelling, Poeppel, 2015).Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Например, в исследовании, проведенном Lakatos et al.(2013) тонкие точки появляются каждые 1,5 с. Только временные слуховые вызванные ответы, то есть комплекс P1-N1-P2, видны после каждого звукового сигнала во время пассивного прослушивания. Однако, когда субъекты выполняют задачу по обнаружению выбросов, возникает медленный дрейф базовой линии в течение 1,5-секундного периода стимула (у здоровых субъектов, но не у больных шизофренией). В качестве другого примера, Доеллинг и Поппель (2015) изучали нейронные реакции на музыку в очень медленном темпе, в некоторых случаях ниже 1 Гц.Нейронные реакции музыкантов улавливаются темпом данной пьесы, в то время как нейронные реакции не музыкантов проявляются только в гармониках темпа. Оба примера показывают, что очень медленное нейронное вовлечение (> 1 Гц) не является естественным следствием сенсорных вызванных реакций и возникает только в результате выполнения задачи или опыта.

Медленные реакции, связанные с событиями, такие как компоненты N400, P3 и P600, действительно могут способствовать очень низкочастотному нейронному увлечению около 1 Гц или ниже.Обычно трудно отделить эти медленные, связанные с событиями реакции от низкочастотного нейронного вовлечения, просто основываясь на спектре / форме волны ответа (O’connell et al., 2012). Тем не менее парадигма нейронного вовлечения не требует изолировать реакцию на единичное событие и, следовательно, обеспечивает более гибкую исследовательскую парадигму. Более того, очень низкочастотное нейронное вовлечение наблюдалось в первичных сенсорных областях, которые не рассматривались как генераторы ответов, связанных с длительными событиями (Lakatos et al., 2008, 2009). Чтобы показать, что увлеченная активность отличается от классической реакции, связанной с событием с длительной задержкой, можно использовать другой подход, чтобы показать, что они обладают различными функциональными свойствами (Ding et al., 2016).

Следовательно, низкочастотное нейронное вовлечение на основной частоте ритма стимула обычно подразумевает медленные колебания формы волны нейронного ответа, что можно рассматривать как медленный дрейф «базовой линии» ответа в каждом цикле стимула.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Нейронная активность, которая колеблется со скоростью, намного превышающей ритм стимула, и переходные нейронные ответы, которые затухают в течение небольшой части периода стимула, сильнее отражаются гармоническими частотами в спектре.Когда низкочастотное нейронное вовлечение возникает на основной частоте ритма стимула, это указывает на то, что влияние предыдущих стимулов не исчезает, когда приходит следующий стимул. Другими словами, предыдущие стимулы задают (нейронный) контекст, в котором будет обрабатываться новый стимул.

В целом, низкочастотное нейронное вовлечение означает, что либо нейрогенераторы обладают медленной внутренней динамикой, либо нейронная система непрерывно отслеживает определенные плавно изменяющиеся свойства стимула.Маловероятно, что очень низкочастотное нейронное вовлечение (например, <1 Гц) состоит из серии переходных реакций, вызванных дискретными сенсорными / перцептивными событиями.

Взносы авторов

ND задумал исследование. HZ и ND провели моделирование. Статью написали HZ, LM, DP и ND.

Финансирование

Работа поддержана Национальным фондом естественных наук Китая 31500873 (ND), фондами фундаментальных исследований для центральных университетов (ND), Китайским фондом естественных наук провинции Чжэцзян LR16C0

(ND) и грантом 2R01DC05660 (DP) Национальных институтов здравоохранения США.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Сноски

  1. На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставляются между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (то есть частотами, обозначенными x на рисунке 5A). В общем, если сигнал содержит N циклов, N-1 точка будет вставлена ​​между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A.Если сигнал действительно периодический и бесконечен по длительности, спектр будет непрерывным и равен нулю на любой частоте, кроме частот, разрешенных на рисунке 5A.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
  2. Для линейных систем, не зависящих от времени, нейронный ответ — это стимул, свертывающий реакцию, связанную с событием. Преобразование Фурье свертки двух сигналов является продуктом преобразования Фурье каждого сигнала. Рассматриваемый стимул представляет собой периодическую серию импульсов. Преобразование Фурье последовательности импульсов также является последовательностью импульсов.Спектр последовательности импульсов отличен от нуля только при 0, f 0 , 2f 0 , 3f 0 … и возьмем такое же ненулевое значение при 0, f 0 , 2f 0 , 3f 0 …. Преобразование Фурье периодического нейронного отклика является продуктом спектра отклика, связанного с событием, и последовательности импульсов в спектральной области. Следовательно, спектр реакции, связанной с событием, является огибающей спектра периодической реакции.

Список литературы

Буйатти, М., Пенья, М., и Дехане-Ламбертц, Г. (2009). Исследование нейронных коррелятов вычисления непрерывной речи с частотно-маркированными нейроэлектрическими ответами. Neuroimage 44, 509–551. DOI: 10.1016 / j.neuroimage.2008.09.015

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Дин Н., Меллони Л., Чжан Х., Тиан X. и Поппель Д. (2016). Корковое отслеживание иерархических языковых структур в связной речи. Nat. Neurosci. 19, 158–164. DOI: 10.1038 / nn.4186

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Дин, Н., и Саймон, Дж. З. (2012). Нейронное кодирование непрерывной речи в слуховой коре при монофоническом и дихотическом слушании. J. Neurophysiol. 107, 78–89. DOI: 10.1152 / jn.00297.2011

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Доеллинг, К. Б., Поппель, Д. (2015). Корковое увлечение музыкой и ее модуляция с помощью опыта. Proc. Natl. Акад. Sci. U S A 112, E6233 – E6242. DOI: 10.1073 / pnas.1508431112

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Галамбос, Р.Спектры периодических сигналов: Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов , Макейг, С., и Талмахофф, П. Дж. (1981). Слуховой потенциал 40 Гц, записанный на коже черепа человека. Proc. Natl. Акад. Sci. США 78, 2643–2647. DOI: 10.1073 / pnas.78.4.2643

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Жиро, А.-Л., Поппель, Д. (2012). Корковые колебания и обработка речи: новые вычислительные принципы и операции. Nat. Neurosci. 15, 511–517. DOI: 10.1038 / nn.3063

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кейтель, К., Куигли, К., Рухнау, П. (2014). Стимулируемые колебания мозга в альфа-диапазоне: захват собственных ритмов или частотно-следящая реакция? J. Neurosci. 34, 10137–10140. DOI: 10.1523 / JNEUROSCI.1904-14.2014

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Лакатос, П., Кармос, Г., Мехта, А. Д., Ульберт, И., и Шредер, К. Э. (2008). Сдерживание нейрональных колебаний как механизм отбора внимания. Наука 320, 110–113. DOI: 10.1126 / наука.1154735

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Лакатос П., Мусаккиа Г., О’Коннел М. Н., Фальшер А. Ю., Джавитт Д. К. и Шредер К. Э. (2013). Механизм спектрально-временного фильтра слухового избирательного внимания. Нейрон 77, 750–761. DOI: 10.1016 / j.neuron.2012.11.034

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Лакатос П., О’Коннелл М. Н., Барчак А., Миллс А., Джавитт Д. К. и Шредер К. Э. (2009).Ведущее значение: надрамодальный контроль внимания за нейрофизиологическим контекстом. Нейрон 64, 419–430. DOI: 10.1016 / j.neuron.2009.10.014

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ланкинен, К., Саари, Дж., Хари, Р., и Коскинен, М. (2014). Межсубъектная согласованность сигналов МЭГ коры головного мозга во время просмотра фильмов. Neuroimage 92, 217–224. DOI: 10.1016 / j.neuroimage.2014.02.004

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Норча, А.М., Аппельбаум, Л. Г., Алес, Дж. М., Коттеро, Б. Р., и Россион, Б. (2015). Устойчивый визуальный вызванный потенциал в исследованиях зрения: обзор. J. Vis. 15: 4. DOI: 10.1167 / 15.6.4

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Nozaradan, S., Peretz, I., Missal, M., and Mouraux, A. (2011). Пометка вовлечения нейронов в биение и измерение. J. Neurosci. 31, 10234–10240. DOI: 10.1523 / jneurosci.0411-11.2011

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Нозарадан, С., Перец И., Мураукс А. (2012). Избирательное вовлечение нейронов в ритм и размер, встроенные в музыкальный ритм. J. Neurosci. 32, 17572–17581. DOI: 10.1523 / jneurosci.3203-12.2012

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

О’Коннелл, М. Н., Барчак, А., Росс, Д., Макгиннис, Т., Шредер, К. Э., и Лакатос, П. (2015). Многоуровневый захват связанных нейрональных колебаний в первичной слуховой коре. Фронт. Гм. Neurosci. 9: 655. DOI: 10.3389 / fnhum.2015.00655

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

О’Коннелл, Р. Г., Докри, П. М., и Келли, С. П. (2012). Супрамодальный сигнал, определяющий перцепционные решения у людей. Nat. Neurosci. 15, 1729–1735. DOI: 10.1038 / nn.3248

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оппенгейм, А. В., Шафер, Р. В., и Бак, Дж. Р. (1989). Обработка сигналов в дискретном времени. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.

Google Scholar

Росс, Б., Боргманн, К., Драганова, Р., Робертс, Л. Е., и Пантев, К. (2000). Высокоточное магнитоэнцефалографическое исследование устойчивых звуковых реакций человека на амплитудно-модулированные тона. J. Acoust. Soc. Являюсь. 108, 679–691. DOI: 10.1121 / 1.429600

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шредер К. Э., Лакатос П., Кадзикава Ю., Партан С. и Пьюс А. (2008). Нейрональные колебания и визуальное усиление речи.Trends Cogn. Sci. 12, 106–113. DOI: 10.1016 / j.tics.2008.01.002

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Штурм И., Бланкерц Б., Потес К., Шальк Г. и Курио Г. (2014). Высокая гамма-активность ЭКоГ выявляет отчетливые корковые репрезентации отрывков текстов, гармонические и тембровые изменения в рок-песне. Фронт. Гм. Neurosci. 8: 798. DOI: 10.3389 / fnhum.2014.00798

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Вайдьянатан, П.П. (1990). Многоскоростные цифровые фильтры, банки фильтров, многофазные сети и приложения: учебное пособие. Proc. IEEE 78, 56–93. DOI: 10.1109 / 5.52200

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван, Ю., Дин, Н., Ахмар, Н., Сян, Дж., Поппель, Д., и Саймон, Дж. З. (2012). Чувствительность к скорости временной модуляции и спектральной полосе пропускания в слуховой системе человека: данные МЭГ. J. Neurophysiol. 107, 2033–2041. DOI: 10.1152 / jn.00310.2011

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Сион Голумбик, Э.М., Динг, Н., Бикель, С., Лакатос, П., Шевон, К. А., Макханн, Г. М. и др. (2013). Механизмы избирательного нейронного отслеживания речи присутствующих на «коктейльной вечеринке». Нейрон 77, 980–991. DOI: 10.1016 / j.neuron.2012.12.037

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Дискретно-временная серия Фурье

Введение

А
реальный, N-периодический, дискретный
сигнал x [n] может быть представлен
линейная комбинация сложных экспоненциальных сигналов

как

В
эти выражения, , и дискретное время фундаментальной
частота .Это дискретное время
Представление ряда Фурье дает представление о частотном содержании
сигналов с дискретным временем и очень удобен для расчетов с
линейные, инвариантные во времени системы, поскольку комплексные экспоненты являются собственными функциями
систем LTI.

комплексные коэффициенты могут быть вычислены
из выражения

называются спектральными коэффициентами сигнала x [n].График зависимости от k называется спектром величин x [n],
а график зависимости от k называется фазовым спектром x [n].
Эти графики, особенно спектр звездных величин, дают картину
частотный состав сигнала. Обратите внимание, что спектральные коэффициенты
повторить, поскольку k изменяется. В частности,
для любого значения k,


Первый апплет — входящие сигналы


Первый апплет — вход в Spectra

Это
апплет иллюстрирует представление ряда Фурье с дискретным временем для N = 5.Окна дисплея показывают

два
повторы амплитудного и фазового спектров,

в
отдельные частотные компоненты (часто называемые векторами)

в
сумма этих векторных составляющих,

два
периоды сигнала x [n].

Вы
может ввести амплитуду и фазовый спектр с помощью мыши, а затем наблюдать
частотные составляющие фазора и генерация сигнала из этих
частотные составляющие.Или вы можете войти
сигнал x [n] с помощью мыши и
наблюдать соответствующие частотные спектры и генерацию сигнала
от частотных составляющих вектора.

Упражнения

(1) Повторение спектрального
коэффициенты, как показано выше, подразумевают, что . Какие еще закономерности или симметрии вы наблюдаете в
спектр звездных величин? Можете ли вы математически обосновать свой ответ?

(2) Повторение спектрального
коэффициенты означает, что .Какие еще закономерности или симметрии вы наблюдаете в
фазовый спектр? Можете ли вы математически обосновать свой ответ?

(3) Используя (1) и (2), объясните, почему и для каждого (реального)
сигнал x [n].

(4) Предположим, что x [n] четное, то есть x [-n] = x [n]. Что вы можете сделать по поводу спектральных коэффициентов? Ты можешь
математически обосновать свой ответ? (Для удобства ввода сигнала это
удобно выразить свойство четности как x [n]
= х [5-n].)

(5) Предположим, что x [n] имеет ровно один
ненулевое значение за период. Что вы наблюдаете в спектре звездных величин?
Имеет ли значение, где встречается ненулевое значение? Вы можете обосновать свой ответ
математически?

(6) Если x [n] имеет ровно одно ненулевое значение за период, что вы наблюдаете?
насчет фазового спектра? Имеет ли значение, где встречается ненулевое значение?


Второй апплет

Для
в этом апплете вы можете ввести значение N
от 4 до 32, а затем введите либо сигнал, либо частотный спектр.Только
показаны один период сигнала и одно повторение спектров.

Упражнения

(1) Если период N — четное целое число и x [n + N / 2] = — x [n], какой шаблон вы используете?
наблюдать в спектре звездных величин? Можете ли вы математически обосновать свой ответ?

(2) Если N — четное целое число и x [n + N / 2]
= x [n], какой образец вы наблюдаете
в спектре звездных величин? Можете ли вы математически обосновать свой ответ?

(3) Если N = 20, какие частоты соответствуют спектральным коэффициентам для k = 0, 9 и 19?
Какие из этих частот вы бы назвали высокими, а какие?
вы звоните низко?

(4) Если N = 20, какой сигнал имеет все спектральные коэффициенты, равные нулю?
кроме ? Какой сигнал если ?

(5) Если N делится на 4, каковы спектральные коэффициенты?
соответствующие синусоидальным волнам с периодами N,
N / 2, N / 4?

возврат
на страницу демонстраций

Подавление шума для периодических сигналов с помощью частотного анализа с высоким разрешением | Журнал EURASIP по обработке звука, речи и музыки

2.1 Предпосылки

ДПФ обычно используется для частотного анализа. Дискретный спектр X дискретного сигнала времени x (n) длины N может быть выражен как

X (k) = 1N∑n = 0N-1x (n) e-j2πknN (k = 0,1,2,… , N-1).

(1)

Когда частота дискретизации равна Δt, а исходный сигнал x (n) имеет период N Δt / k, X (k) может точно отражать спектральную структуру. Однако, если период, отличный от N Δt / k, появляется в x (n), X (k) выражается комбинацией N Δt / k в терминах нескольких частотных компонентов, а X (k) неточно отражается в спектральная структура.

Чтобы увеличить разрешение по частоте, значение N обычно увеличивают. Однако, если частота сопровождается временными колебаниями, тогда извлекается средний период, и аналитическая точность ухудшается по мере увеличения N. Некоторые методы используют функцию окна анализа для x (n) в предварительной обработке. Однако это не улучшает видимое разрешение по частоте.

На рисунке 1 показаны некоторые проблемы, связанные с частотным анализом. Даже при анализе простейшего частотного сигнала, показанного в верхней части рисунка 1, одна часть участка удаляется при определении периодичности анализируемого сигнала.В центральной левой части рисунка 1 показана аналитическая точность. Период может быть точно идентифицирован, только если длина кадра кратна периоду анализируемого сигнала. Другими словами, группа различных спектров появляется около истинной частоты, потому что анализируемый сигнал выражается как кратное количество периодов N Δt / k. Чтобы предотвратить это, можно использовать функцию окна анализа, как показано в центральной правой части рисунка 1. Однако это будет просто концентрироваться вокруг истинного значения, что затрудняет определение истинного значения.Поэтому мы отметили, что коэффициент Фурье можно оценить путем решения нелинейного уравнения, основанного на предположении о стационарном сигнале (см. Нижнюю часть рисунка 1). Таким образом, НСЗ, разработанный в этом исследовании, обеспечивает высокую аналитическую точность, поскольку этот НСЗ снижает влияние окна анализа.

Рисунок 1

Преобразование Фурье и метод NHA .

2.2 Алгоритм NHA

На рисунке 2 показан алгоритм, используемый NHA. Сначала выполняется частотный анализ входного сигнала с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) для получения начального значения.Затем частота и начальная фаза спектрального компонента, имеющего наибольшую амплитуду, сводятся с использованием функции стоимости с методом наискорейшего спуска. В это время применяется весовой коэффициент, основанный на методе запаздывания, для преобразования функций затрат, вычисленных по рекуррентным формулам, в монотонно убывающую последовательность. Затем амплитуда сводится с использованием метода Ньютона. После этого снова применяется метод Ньютона для схождения частоты и начальной фазы с высокой степенью точности.После окончательной сходимости амплитуды по методу Ньютона мы получаем полностью сходящийся спектр.

Рисунок 2

Наконец, мы описываем мотивацию структуры, показанной на рисунке 2. Для уравнения функции затрат, заданного уравнением 2, хотя скорость сходимости мала, метод наискорейшего спуска может найти стационарную точку в широком диапазоне. классифицировать. Напротив, метод Ньютона позволяет быстро найти ближайшую стационарную точку. Поэтому сначала мы используем метод наискорейшего спуска, чтобы найти стационарную точку в широком диапазоне.Затем мы используем метод Ньютона, чтобы быстро найти стационарную точку. В любом случае, мы отличаем расчет сходимости амплитуды A от других параметров, чтобы локальная стационарная точка не была рассчитана неправильно.

2.3 Подробная информация о NHA

В этом разделе мы представляем более подробное описание метода NHA. Поскольку коэффициент Фурье оценивается путем решения нелинейного уравнения, NHA позволяет точно оценить частоту и связанные с ней параметры без значительного влияния длины кадра.)} 2,

(2)

, где N — длина кадра, а f s — частота дискретизации (f s = 1 / Δt).

2.3.1. Метод наискорейшего спуска

Джордж и Смит [12, 13] попытались ввести параметр сигнала A и начальную фазу ϕ, применив метод наименьших квадратов к разностному сигналу между анализируемым сигналом и модулированной гармонической синусоидальной волной.

Однако этот метод сильно зависит от длины кадра и его трудно применить для анализа сигналов, которые не имеют простой частотной гармонической структуры, потому что частоты, которые зависят от длины кадра, используются для группы гармонических частот, как в ДПФ.∕ (2π) = 0,5) минимальное и максимальное значения выравниваются по вертикали. Это потому, что истинное значение является минимальным, но становится максимальным для противофазного случая (ϕ (2π) = 0, 1). Поскольку ширина впадины при минимальном значении составляет 2 Гц, минимум оценочной функции можно оценить только в том случае, если начальное значение лежит в впадине при решении нелинейного уравнения. Поскольку разрешение по частоте DFT составляет 1 Гц, одна или две точки могут содержаться в впадине шириной 2 Гц. В точке на оси частот, где амплитуда ДПФ становится максимальной (т.е.е. интегральная частота, когда длина кадра равна 1 с), функция оценки уравнения 2 минимизируется на начальной фазе, определяемой посредством DFT.

Рисунок 3

Распределение функции стоимости .

Если максимальная амплитуда A, определенная методом DFT, а частота f и начальная фаза ϕ используются в качестве начальных значений (A 0,0 , f 0,0 , ϕ 0,0 ), то начальные значения может быть задана внутри лотка, содержащего минимум функции стоимости на рисунке 3.м, п),

(5)

где q — количество итераций метода запаздывания. Эти переменные повторяются, как показано на рисунке 4. В приведенных выше уравнениях μ m, p
— это весовой коэффициент, основанный на методе запаздывания и имеющий значение от 0 до 1 для преобразования функций затрат, вычисленных по рекуррентным формулам, в монотонно убывающую последовательность [14–16]. В этой статье мы используем этот весовой коэффициент следующим образом:

Рисунок 4

Процесс сходимости для наискорейшего спуска и метод замедления .m, p, q и p сбрасываются на 1.

Затем метод наискорейшего спуска и алгоритм сходимости амплитуды рекурсивно повторяются до тех пор, пока функция стоимости не станет частично сходящейся. Затем применяется метод Ньютона.

2.3.3. Метод Ньютона

Хотя метод наискорейшего спуска приводит к сходимости значений в сравнительно широком диапазоне, одна серия операций не может обеспечить достаточную точность. Для достижения высокоточного преобразования NHA использует метод Ньютона после метода наискорейшего спуска с более низкой точностью.m сводится к сходимости, применяя уравнение 8 таким же образом, как и в методе наискорейшего спуска, и серия вычислений повторяется. Единственное отличие состоит в том, что алгоритм сходимости повторяется с использованием метода Ньютона вместо метода наискорейшего спуска. Таким образом, частотные параметры оцениваются с высокой степенью точности и с высокой скоростью с помощью гибридного процесса, сочетающего наискорейший спуск и метод Ньютона.

2.3.4. Последовательная редукция

Даже для случая, когда имеется несколько синусоидальных волн, спектральные параметры могут быть приблизительно получены путем последовательной редукции.k2.

(17)

Если оба A j
и A match, то частотная составляющая оцененного спектра может быть полностью удалена из объектного сигнала. Следовательно, задача поиска оптимального решения не зависит от частоты и применима даже к сигналу, состоящему из нескольких синусоидальных волн, путем последовательной и индивидуальной оценки по сигналу объекта. Другими словами, даже когда объектный сигнал представляет собой составную синусоидальную волну, несколько синусоидальных волн могут быть извлечены путем выполнения аналогичной обработки последовательных остаточных сигналов.Если частоты двух спектров соседствуют друг с другом, другой спектр создает еще одну впадину в впадине вокруг истинного значения, показанного на рисунке 3, и искажает функцию оценки. Это может привести к ошибке, как обсуждается ниже.

2.4. Точность NHA

Среди методов, основанных на DFT, обобщенный гармонический анализ (GHA или алгоритм Хираты) обычно считается наиболее точным [17–20].

Согласно этому анализу, разрешение по частоте зависит от длины кадра, поскольку одно окно анализа, очевидно, имеет длину нескольких окон.Однако частота разложения имеет конечную длину, и объектный сигнал любой другой частоты не может быть проанализирован. На рисунке 5 показано количество частот, которые могут быть проанализированы DFT и GHA на каждой длине кадра. Успешный частотный анализ означает, что количество спектров объектного сигнала соответствует количеству спектров после анализа, то есть, если длина кадра уникальна, то DFT имеет N частот разложения (0, f s / N, 2f / N , …, (N — 1) f s / N [Гц]). По сравнению с DFT примерно половиной длины данных, GHA на порядок точнее.Если спектр объектного сигнала не входит в группу гармонических спектров, группа гармонических спектров появляется около истинной частоты.

Рисунок 5

Частотное разрешение DFT и GHA .

Чтобы проверить частотное разрешение NHA, мы сравнили DFT и GHA экспериментально, как показано на рисунке 6. При длине кадра, установленной на 1 с (512 отсчетов), мы проанализировали одиночную синусоидальную волну. С помощью каждого метода была извлечена одна синусоидальная волна и исследован квадрат ошибки исходного сигнала.

Рисунок 6

Квадратная ошибка (длина кадра: 512) .

DFT демонстрирует низкую аналитическую точность, за исключением случаев, когда сигналы имеют частоты, целые кратные основной частоте. На частотах выше 1 Гц GHA показал точность на два-пять порядков больше. На тех же частотах NHA была на 10 и более порядков точнее, чем DFT. На частотах ниже 1 Гц DFT и GHA были одинаково точными, но NHA смог правильно оценить частоту и другие параметры без влияния длины кадра.Таким образом, было продемонстрировано, что NHA имеет даже большую точность анализа, чем GHA, который был разработан на основе DFT.

Точная оценка на частотах ниже 1 Гц означает, что даже объектные сигналы, имеющие периоды, превышающие длину кадра, могут быть точно проанализированы. Следовательно, можно точно оценить спектральные структуры сигналов, представляющих цены на акции и другие факторы колебаний.

На рисунках 7 и 8 показаны квадраты ошибок двух синусоидальных волн. Оценка, аналогичная показанной на рисунке 6, была выполнена путем добавления еще одной синусоидальной волны (f = 0.6 Гц), чтобы определить, можно ли правильно выделить обе синусоидальные волны.

Рисунок 7

Квадратная ошибка синусоидальной волны препятствия ( A = 1, f = 0 ,6).

Рисунок 8

Квадратная ошибка синусоидальной волны препятствия ( A = 10, f = 0 ,6).

Отношение амплитуд двух синусоидальных волн составляет 1: 1 на рисунке 7 и 1:10 на рисунке 8.Последний представляет собой коэффициент синусоидальной волны при f = 0,6 Гц. В обоих случаях точность увеличивается в порядке NHA, GHA и DFT. Если две синусоидальные волны имеют одинаковые амплитуды, функции оценки, показанные на рисунке 3, интерферируют друг с другом, увеличивая искажение, что приводит к большей ошибке, чем при использовании только одной синусоидальной волны. Как упоминалось выше, эта тенденция становится более заметной по мере приближения частот друг к другу. Однако ошибка NHA меньше среднего по сравнению с ошибками DFT и GHA.

Периодический характер ДПФ

В отличие от трех других преобразований Фурье, ДПФ просматривает как временную область
а частотная область — как периодическая. Это может сбивать с толку и неудобно
поскольку большинство сигналов, используемых в DSP, не являются периодическими. Тем не менее, если вы
хотите использовать ДПФ, вы должны соответствовать взгляду ДПФ на мир.

На рисунке 10-8 показаны две разные интерпретации сигнала во временной области. Первый,
посмотрите на верхний сигнал, временная область рассматривается как N точек.Это представляет
как цифровые сигналы обычно получаются в научных экспериментах и
инженерные приложения. Например, эти 128 образцов могли быть
полученный путем дискретизации некоторого параметра через равные промежутки времени. Образец 0
отличные и отдельные от образца 127, потому что они были получены в разных
раз. Судя по тому, как был сформирован этот сигнал, нет оснований полагать, что
сэмплы слева от сигнала даже связаны с сэмплами справа.

К сожалению, DFT не видит этого. Как показано на нижнем
На рисунке ДПФ рассматривает эти 128 точек как один период бесконечно длинного
периодический сигнал. Это означает, что левая сторона полученного сигнала подключена
справа от дублирующего сигнала. Так же и правая сторона приобретенного
сигнал подключен к левой части идентичного периода. Это также может быть
мысли как правая сторона полученного сигнала, охватывающего и
соединяясь с его левой стороной.В этом представлении образец 127 находится рядом с образцом 0, просто
поскольку образец 43 находится рядом с образцом 44. Это называется круглым,
и идентично просмотру сигнала как периодического.

Наиболее серьезным последствием этой периодичности является наложение спектров во временной области. К
проиллюстрируем это, предположим, что мы берем сигнал во временной области и пропускаем его через
ДПФ, чтобы найти его частотный спектр. Мы могли сразу передать эту частоту
спектр через обратный ДПФ, чтобы восстановить исходную временную область
сигнал, но вся процедура была бы не очень интересной.Вместо этого мы будем
измените частотный спектр каким-либо образом перед использованием обратного ДПФ.
Например, выбранные частоты могут быть удалены, изменены по амплитуде или
фаза, сдвиг и т. д. Такие вещи обычно выполняются в DSP.
К сожалению, эти изменения в частотной области могут создать временную область
сигнал, который слишком длинный, чтобы поместиться в

за один период. Это заставляет сигнал перетекать из одного периода в
смежные периоды.Когда временная область рассматривается как круговая, части
сигнализировать, что переполнение справа внезапно появляется снова на левой стороне
сигнал, и наоборот. То есть переполняющиеся части псевдонима сигнала
себя в новое место во временной области. Если это новое место произойдет
чтобы уже содержать существующий сигнал, весь беспорядок добавляет, что приводит к потере
Информация. Круговая свертка, полученная в частотной области
умножение (обсуждается в главе 9), является прекрасным примером этого типа
алиасинг.

Периодичность в частотной области ведет себя примерно так же, но более
сложный. На рис. 10-9 показан пример. Верхние цифры показывают
амплитуда и фаза частотного спектра, рассматриваемого как состоящая из
N / 2 + 1 отсчетов распространяется от 0 до 0,5 частоты дискретизации. Это
самый простой способ просмотра частотного спектра, но он не объясняет многие
свойств ДПФ.

Два нижних рисунка показывают, как ДПФ рассматривает этот частотный спектр как
быть периодическим.Ключевой особенностью является то, что частотный спектр от 0 до
0,5 кажется зеркальным отображением частот, которые находятся в диапазоне от 0 до -0,5.
Это зеркальное отображение отрицательных частот немного отличается для
амплитуда и фаза сигналов. По величине сигнал меняется влево-вправо. В фазе сигнал переворачивается влево-вправо и меняет знак.
Как вы помните, этим двум типам симметрии даны названия: величина
называется четным сигналом (имеет четную симметрию), а фаза называется
нечетный сигнал (имеет нечетную симметрию).Если частотный спектр преобразован
на реальную и мнимую части, реальная часть всегда будет четной, а
мнимая часть всегда будет нечетной.

Принимая во внимание эти отрицательные частоты, ДПФ просматривает частоту
как периодический, с периодом, в 1,0 раза превышающим частоту дискретизации, например от -0,5 до
0,5 или от 0 до 1,0. С точки зрения количества выборок это означает, что длина
период частотной области равен N, такой же, как и во временной области.

Периодичность частотной области делает ее чувствительной к частотному
псевдоним домена, полностью аналогичный ранее описанному временному диапазону
алиасинг.Представьте себе сигнал во временной области, который соответствует некоторой частоте
спектр. Если сигнал во временной области изменяется, очевидно, что частота
спектр тоже будет изменен. Если модифицированный частотный спектр не подходит
в отведенном для этого месте он будет выталкиваться в соседние периоды. Как и раньше, это
алиасинг вызывает две проблемы: частоты не там, где они должны быть, и
перекрывающиеся частоты из разных периодов складываются, уничтожая информацию.

Псевдонимы в частотной области труднее понять, чем во временной
алиасинг, так как периодический узор более сложен по частоте
домен.Рассмотрим одну частоту, которая вынуждена перейти с 0,01 на
0,49 в частотной области. Соответствующая отрицательная частота равна
поэтому переход от -0,01 к -0,49. Когда положительная частота движется

через барьер 0,5, отрицательная частота проталкивается через барьер -0,5.
Поскольку частотная область является периодической, эти же события происходят в
другие периоды, например от 0,5 до 1,5. Клон положительной частоты
частота пересечения 1.5 слева направо, а клон негатива
частота пересекает 0,5 справа налево. А теперь представьте, как это выглядит
если вы можете видеть только полосу частот от 0 до 0,5. Похоже, что частота
уходя направо, снова появляется справа, но движется в противоположном направлении.

На рисунке 10-10 показано, как сглаживание проявляется во временной и частотной областях.
когда просматривается только один период. Как показано в (a), если один конец времени
сигнал домена слишком длинный, чтобы поместиться в один период, выступающий конец будет
отрезал и наклеил на другую сторону.Для сравнения, (b) показывает, что когда a
сигнал частотной области выходит за пределы периода, выступающий конец загибается.
Независимо от того, где заканчивается сегмент с псевдонимом, он добавляет к любому сигналу
уже там, уничтожая информацию.

Давайте подробнее рассмотрим эти странные вещи, называемые отрицательными частотами.
Это просто какой-то причудливый математический артефакт, или у них есть настоящая
мировое значение? На рис. 10-11 показано, о чем они. Рисунок (а) представляет собой
дискретный сигнал состоит из 32 отсчетов.Представьте, что вам дали задание
найти частотный спектр, соответствующий этим 32 точкам. Чтобы облегчить вашу работу, вам говорят, что эти точки представляют собой дискретную косинусную волну. Другими словами, вы должны найти такую ​​частоту и фазовый сдвиг (f и θ), чтобы x [n] = cos (2πnf / N + θ) соответствовал данным отсчетам. Вскоре вы придете к решению, показанному на (b), то есть f = 3 и θ = -π / 4.

Если вы остановили свой анализ на этом этапе, вы получите только 1/3 балла за
проблема.Это потому, что вы упустили два других решения.
Как показано в (c), второе решение — f = -3 и θ = π / 4. Даже если идея
отрицательная частота оскорбляет вашу чувствительность, это не

меняет тот факт, что это математически верное решение определенной проблемы.
Каждую синусоиду положительной частоты можно поочередно выразить как отрицательную.
частота синусоиды. Это относится как к непрерывным, так и к дискретным сигналам.

Третье решение — это не один ответ, а бесконечное семейство решений.Как
как показано на (d), синусоида с f = 35 и θ = -π / 4 проходит через все
дискретных точек, и поэтому является правильным решением. Тот факт, что это показывает
колебания между образцами могут сбивать с толку, но не дисквалифицируют
от достоверного ответа. Аналогично, f = ± 29, f =? 35, f =? 61 и f =? 67 — все решения с множественными колебаниями между точками. Этот
Третья группа решений требует, чтобы исходный сигнал был дискретным, а не
непрерывный.При непрерывных сигналах у вас не может быть колебаний между
образцы, потому что у вас нет образцов.

Каждое из этих трех решений соответствует разному участку частотного
спектр. Для дискретных сигналов первое решение соответствует частотам
от 0 до 0,5 частоты дискретизации. Второе решение приводит к
частоты от 0 до -0,5. Наконец, третье решение составляет бесконечное
количество дублируемых частот ниже -0.5 и выше 0,5. С непрерывным
сигналов, первое решение дает частоты от нуля до положительной бесконечности,
в то время как второе решение дает частоты от нуля до отрицательной бесконечности.

Многие методы DSP не требуют использования отрицательных частот или
понимание периодичности ДПФ. Например, два общих были
описанный в предыдущей главе спектральный анализ и частотная характеристика
системы. Для этих приложений вполне достаточно просмотра времени.
область, простирающаяся от отсчета 0 до N-1, а частотная область от нуля
до половины частоты дискретизации.Эти методы могут использовать более простые
взгляд на мир, потому что они никогда не приводят к перемещению частей одного периода
в другой период. С этим ограничением смотреть на один период нельзя.
отличается от просмотра всего периодического сигнала.

Однако некоторые процедуры можно проанализировать, только рассматривая то, как сигналы
переполнение между периодами. Два примера этого уже были представлены,
круговая свертка и аналого-цифровое преобразование. В круговой свертке
умножение частотных спектров приводит к тому, что сигналы временной области
свернутый.Если результирующий сигнал во временной области слишком длинный, чтобы поместиться внутри одного
период, он перетекает в соседние периоды, что приводит к наложению спектров во временной области.
Напротив, аналого-цифровое преобразование является примером частотной области.
алиасинг. Во временной области выполняется нелинейное действие, то есть изменение
непрерывный сигнал в дискретный сигнал путем дискретизации. Проблема в том, что
спектр исходного аналогового сигнала может быть слишком длинным, чтобы поместиться внутри дискретного
спектр сигнала.Когда мы форсируем ситуацию, концы спектра
выступают на соседние периоды. Рассмотрим еще два примера, где
важен периодический характер ДПФ, сжатие и расширение сигналов,
и амплитудная модуляция.

4.7: Фильтрация периодических сигналов — Engineering LibreTexts

Цели обучения

  • Этот модуль демонстрирует эффект, который постоянный во времени фильтр может оказывать на периодические сигналы.

Представление периодического сигнала в виде ряда Фурье позволяет легко определить, как линейный, не зависящий от времени фильтр изменяет форму таких сигналов в целом.Основным свойством линейной системы является то, что ее отношение ввода-вывода подчиняется суперпозиции:

\ [L \ left (a_ {1} s_ {1} (t) + a_ {2} s_ {2} (t) \ right) = a_ {1} L \ left (s_ {1} (t) \ вправо) + a_ {2} L \ влево (s_ {2} (t) \ right) \]

Поскольку ряд Фурье представляет периодический сигнал как линейную комбинацию комплексных экспонент, мы можем использовать свойство суперпозиции. Кроме того, мы обнаружили для линейных схем, что их выход на комплексный экспоненциальный вход — это просто частотная характеристика, вычисленная на частоте сигнала, умноженной на комплексную экспоненту.{i \ frac {2 \ pi kt} {T}} \]

Таким образом, на выходе имеется ряд Фурье, что означает, что он тоже периодичен. Его коэффициенты Фурье равны:

\ [c_ {k} H \ left (\ frac {k} {T} \ right) \]

Чтобы получить спектр выходного сигнала, мы просто умножаем входной спектр на частотную характеристику . Схема изменяет величину и фазу каждого коэффициента Фурье. Обратите особое внимание на то, что хотя коэффициенты Фурье не зависят от периода сигнала, передаточная функция схемы зависит от частоты, а это означает, что выходной сигнал схемы будет отличаться при изменении периода.

Рис. 4.7.1a Периодический импульсный сигнал Рис. 4.7.1b Верхние графики показывают спектр импульсного сигнала для различных частот среза. На нижних графиках показаны выходные сигналы фильтра.

На приведенном выше рисунке 4.7.1b периодический импульсный сигнал, такой как показанный в левой части, где (Δ / 2 = 0,2), служит входом для RC-фильтра нижних частот. Период ввода составлял 1 мс (миллисекунду). Частота среза фильтра была установлена ​​на различные значения, указанные в верхней строке, которая отображает спектр выходного сигнала и передаточную функцию фильтра.В нижнем ряду показан выходной сигнал, полученный из коэффициентов ряда Фурье, показанных в верхнем ряду.

Пример \ (\ PageIndex {1} \):

Периодический импульсный сигнал, показанный слева вверху, служит входом для RC-цепи, которая имеет передаточную функцию

\ [H (f) = \ frac {1} {1 + i2 \ pi fRC} \]

На рис. 4.7.1b показаны изменения выходного сигнала при изменении частоты среза фильтра. Обратите внимание, как спектр сигнала выходит за пределы его основной частоты. Частота среза в десять раз выше основной частоты заметно изменяет форму выходного сигнала, округляя передний и задний фронты.По мере уменьшения частоты среза (в центре, затем влево) округление становится более заметным, а крайний левый сигнал показывает небольшую рябь.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Какое среднее значение каждой формы выходного сигнала? Правильный ответ может вас удивить.

Решение

Поскольку коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте равен единице, средние выходные значения равны соответствующим средним входным значениям.

Этот пример также иллюстрирует влияние фильтра нижних частот на форму сигнала.Используемый здесь простой RC-фильтр имеет довольно плавную частотную характеристику, что означает плавное подавление высших гармоник. Позже мы опишем фильтры, которые имеют гораздо более быстро изменяющиеся частотные характеристики, что позволяет значительно более драматично выбирать входные коэффициенты Фурье.